Gaussova konstanta

Gaussova konstánta [gáusova ~] (oznaka G) je v matematiki konstanta, določena kot obratna vrednost aritmetično-geometrične sredine števila 1 in kvadratnega korena števila 2 Predloga:OEIS:

$G=\frac{1}{\mathrm{M}(1,\sqrt{2})}=0,8346268416740731862814297327990468\dots .$

Imenuje se po Carlu Friedrichu Gaussu, ki je 30. maja 1799 odkril zvezo:

$G=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^4}},$

tako, da je:

$G=\frac{1}{2\pi }\mathrm{B}(\frac{1}{4},\frac{1}{2}),$

kjer je $\mathrm{B}$ funkcija Β.

Gaussove konstante se ne sme zamenjevati z Gaussovo gravitacijsko konstanto.

Povezava z drugimi konstantami

Z Gaussovo konstanto se lahko izrazi funkcijo Γ za argument 1/4:

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)=\sqrt{2G\sqrt{2{\pi }^3}}.$

Ker sta π in Γ(1/4) algebrsko neodvisna, kjer je Γ(1/4) iracionalno število, je Gaussova konstanta transcendentna. Transcendentnost Gaussove konstante je leta 1937 dokazal Theodor Schneider.

Lemniskatini konstanti

S pomočjo Gaussove konstante se lahko določi lemniskatini konstanti:

$L_1=\pi G=\frac{\pi }{M},$

$L_2=\frac{1}{2G}=\frac{M}{2},$

ki se pojavljata pri določevanju dolžine loka (Bernoullijeve) lemniskate. Tu je M obratna vrednost Gaussove konstante Predloga:OEIS:

$M=\frac{1}{G}=1,1981402347355922074399224922803238.$

Gauss je izvirno obravnaval prvo lemniskatino konstanto $L_1$ in jo označeval z ϖ, po analogiji z vrednostima integralov:

$\varpi \equiv L_1=2\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^4}}=2,6220575542921198104648395898911194\dots ,$ Predloga:OEIS,

$\pi =2\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}.$

Algebrsko neodvisnost $\mathrm{\Gamma }(1/4)$ in $G$ od $\pi$ je leta 1975 pokazal Gregory Chudnovsky.

Druge formule

Formula za G z Jacobijevo funkcijo ϑ je:

$G={\vartheta }_{01}^2(e^{-\pi }),$

ter tudi s hitro konvergentno neskončno vrsto:

$G=\sqrt[4]{32}{e}^{-\frac{\pi }{3}}{(\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{e}^{-2n\pi (3n+1)})}^2.$

Gaussova konstanta je podana tudi z neskončnim produktom:

$G=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{\tanh }^2\frac{\pi m}{2}.$

Pojavi se pri izračunavanju integralov:

$\frac{1}{G}=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{\sin x}\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{\cos x}\mathrm{d}x,$

$G=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\cosh \pi x}}.$

Neskončni verižni ulomek Gaussove konstante je Predloga:OEIS:

$G=[0;1,5,21,3,4,14,1,1,1,1,1,3,1,15,1,3,8,36,1,\cdots ].$

Ker Gaussova konstanta G ni kvadratno iracionalno število, njen verižni ulomek ni periodičen.

Glej tudi

• lemniskatna eliptična funkcija
• lemniskatni sinus

Viri

• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld