Bellova vrsta

Bellova vrsta je v matematiki formalna potenčna vrsta, s katero se proučujejo značilnosti aritmetičnih funkcij. Vrste je uvedel, proučeval in razvil Eric Temple Bell.

Za dano aritmetično funkcijo $f$ in praštevilo $p$, je formalna potenčna vrsta $f_p(x)$, imenovana Bellova vrsta $f$ modulo $p$, določena kot:

$f_p(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(p^n)x^n.$

Multiplikativni funkciji sta enaki, če so enake vse njune Bellove vrste. To dejstvo se včasih imenuje izrek edinstvenosti. Za dani multiplikativni funkciji $f$ in $g$, velja $f=g$, če in samo če:

$f_p(x)=g_p(x)$ za vsa praštevila $p$.

Dve vrsti se lahko množi (izrek o množenju): za poljubni dve aritmetični funkciji $f$ in $g$ naj je $h=f*g$ njuna Dirichletova konvolucija. Za vsako praštevilo $p$ potem velja:

$h_p(x)=f_p(x)g_p(x).$

V posebnem primeru je preprosto najti Bellovo vrsti za Dirichletov inverz.

Če je $f$ popolnoma multiplikativna (multiplikativna za vsa pozitivna cela števila, ne le za tuja), velja:

$f_p(x)=\frac{1}{1-f(p)x}.$

Zgledi

Nekaj Bellovih vrst za znane aritmetične funkcije:

• Möbiusova funkcija $\mu$ - ${\mu }_p(x)=1-x.$
• Eulerjeva funkcija $\varphi$ - ${\varphi }_p(x)=\frac{1-x}{1-px}.$
• multiplikativna enakost Dirichletove konvolucije $\delta$ - ${\delta }_p(x)=1.$
• Liouvillova funkcija $\lambda$ - ${\lambda }_p(x)=\frac{1}{1+x}.$
• potenčna funkcija Id_k - $({\text{Id}}_k{)}_p(x)=\frac{1}{1-p^{k}x}.$ Tukaj je Id_k popolnoma multiplikativna funkcija ${\mathrm{Id}}_k(n)=n^k$.
• funkcija števila deliteljev ${\sigma }_k$ - $({\sigma }_k{)}_p(x)=\frac{1}{1-{\sigma }_k(p)x+p^k{x}^2}.$

Viri

• Predloga:Navedi knjigo