Carlemanova matrika

Carlemanova matrika je matrika, ki se uporablja za pretvorbo kompozituma funkcij v množenje matrik. Druga področja uporabe so še v teoriji iteracij in verjetnosti ter v Markovskih verigah.

Definicija

Calermanova matrika funkcije $f(x)$ je določena z

$M[f{]}_{jk}=\frac{1}{k!}{[\frac{d^k}{d{x}^k}(f(x){)}^j]}_{x=0}$

pri tem pa velja

$(f(x){)}^j=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}M[f{]}_{jk}{x}^k.$

Tako lahko zapišemo določanje funkcije $f(x)$ kot

$f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}M[f{]}_{1,k}{x}^k.$,

kar pa je skalarni produkt prve vrstice matrike $M[f]$ z vektorjem ${[1,x,x^2,x^3,...]}^{\tau }$.

Množenje z drugo vrstico matrike $M[f]$ nam da drugo potenco funkcije $f(x)$

$f(x{)}^2=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}M[f{]}_{2,k}{x}^k.$.

Lahko pa določimo tudi ničelno potenco funkcije $f(x)$. V matriki $M[f]$ predpostavimo, da vrstica 0 vsebuje ničle povsod, razen na prvem mestu. To nam da

$f(x{)}^0=1=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}M[f{]}_{0,k}{x}^k=1+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}0*x^k$

Skalarni produkt matrike $M[f]$ z vektorjem ${[1,x,x^2,x^3,...]}^{\tau }$ nam da vektor

$M[f]*{[1,x,x^2,x^3,...]}^{\tau }={[1,f(x),(f(x){)}^2,(f(x){)}^3,...]}^{\tau }$.

Bellova matrika

Bellova matrika funkcije $f(x)$ je določena kot

$B[f{]}_{jk}=\frac{1}{j!}{[\frac{d^j}{d{x}^j}(f(x){)}^k]}_{x=0}$

pri tem pa velja

$(f(x){)}^k=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}B[f{]}_{jk}{x}^j$

To pa pomeni, da je Bellova matrika transponirana Carlemanova matrika.

Primeri

Carlemanova matrika konstante je:

$M[a]=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& \cdots \\ a& 0& 0& \cdots \\ a^2& 0& 0& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$

Carlemanova matrika identične funkcije je:

$M_x[x]=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& \cdots \\ 0& 1& 0& \cdots \\ 0& 0& 1& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$

Carlemanova matrika dodane konstante je:

$M_x[a+x]=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& \cdots \\ a& 1& 0& \cdots \\ a^2& 2a& 1& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$

Carlemanova matrika zmnožka s konstanto je:

$M_x[cx]=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& \cdots \\ 0& c& 0& \cdots \\ 0& 0& c^2& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$

Carlemanova matrika linearne funkcije je:

$M_x[a+cx]=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& \cdots \\ a& c& 0& \cdots \\ a^2& 2ac& c^2& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$

Carlemanova matrika funkcije $f(x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k{x}^k$ je:

$M[f]=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& \cdots \\ 0& f_1& f_2& \cdots \\ 0& 0& f_1^2& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$

Carlemanova matrika funkcije $f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_k{x}^k$ je:

$M[f]=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& \cdots \\ f_0& f_1& f_2& \cdots \\ f_0^2& 2f_0{f}_1& f_1^2& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$.

Lastnosti matrike

Obe matriki (Carlemanova in Bellova) zadoščata osnovnima odnosoma:

• $M[f\circ g]=M[f]M[g]$
• $B[f\circ g]=B[g]B[f]$

kar dela Carlemanovo matriko $M$ kot neposredno predstavitev funkcije $f(x)$ in Bellovo matriko $B$ kot nasprotno predstavitev funkcije $f(x)$. V zgornjih izrazih pomeni $f\circ g$ kompozitum funkcij $f(g(x))$.

Razen tega veljata še naslednji lastnosti:

• $M[f^n]=M[f{]}^n$

kjer je

$f^n$ iteracija funkcije

• $M[f^{-1}]=M[f{]}^{-1}$

kjer je

$f^{-1}$ inverzna funkcija (če je Calermanova matrika obrnljiva).