Cayleyjeva sekstika

Parametrični graf Cayleyjeve sekstike.

Cayleyjeva sekstika (ali Cayleyjev sekstet) je v geometriji ravninska krivulja, ki spada v družino sinusoidnih spiral. Krivuljo je leta 1718 prvi obravnaval Colin Maclaurin. Arthur Cayley je krivuljo prvi podrobno raziskoval, leta 1900 pa jo je po njem imenoval Archibald.

Krivulja je simetrična glede na os x ($y=0$) in seka samo sebe v točki $x=-a/8,y=0$. Druga presečišča so še v izhodišču, kjer je prevojna točka, v točki $(a,0)$ in z osjo y v točki $\pm 3/8\sqrt{3}$.

Cayleyjeva sekstika je nožiščna krivulja (ali ruleta) srčnice glede na njeno točko obrata.

Enačbe Cayleyjeve sekstike

Enačba Cayleyjeve sekstike v polarnih koordinatah je:

$r=4a{\cos }^3\frac{\theta }{3}.$

Ena oblika v kartezičnih koordinatah je:

$4{(x^2+y^2-ax)}^3=27a^2{(x^2+y^2)}^2.$

Krivulja se lahko zapiše parametrično (kot periodična funkcija s periodo $\pi ℝ\to {ℝ}^2$) z enačbama:

$x(t)={\cos }^{3}t\cos 3t,$

$y(t)={\cos }^{3}t\sin 3t.$

Singularna točka je v $\pm \pi /3$

Dolžina krivulje in ploščina

Dolžina celotne krivulje je enaka:

$s=6\pi a.$

Ploščina zunanje meje krivulje je:

$p=(5\pi +\frac{1}{2}9\sqrt{3})a=23,50219\dots a$ Predloga:OEIS,

in ploščina notranje zanke:

$p_{\mathrm{Z}}=\frac{1}{2}(5\pi -9\sqrt{3})a^2=0,05975299\dots a^2,$ Predloga:OEIS.

Viri

• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld