Dirichletova funkcija lambda

Dirichletova funkcija lambda $\lambda (s)$ je v matematiki specialna funkcija definirana kot Dirichletova L-vsota:

$\lambda (s)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1{)}^s}=(1-\frac{1}{2^s})\zeta (s),(\mathrm{\Re }(s)>1),$

kjer je $\zeta (s)$ Riemannova funkcija ζ. Imenuje se po nemškem matematiku Petru Gustavu Lejeuneu Dirichletu.

Značilnosti

Dirichletova funkcija $\lambda$ je povezana z Riemannovo funkcijo ζ in Dirichletovo funkcijo η kot:

$\frac{\lambda (s)}{2^s-1}=\frac{\zeta (s)}{2^s}=\frac{\eta (s)}{2^s-2}$

in:

$2\lambda (s)=\zeta (s)+\eta (s).$

Dirichletova funkcija $\lambda$ je posebni primer Legendrove funkcije ${\chi }_{\nu }(z)$ za $z=1$:

${\chi }_n(1)=\lambda (n)=(1-\frac{1}{2^n})\zeta (n)=(1+\frac{1}{2^n-2})\eta (n).$

Posebne vrednosti Dirichletove funkcije λ

Za soda pozitivna cela števila velja:

$\lambda (2n)=(2^{2n}-1)\frac{(-1{)}^{n-1}{B}_{2n}{\pi }^{2n}}{2(2n)!},(n\in \mathbb{N}),$

kjer so B_2n Bernoullijeva števila.

Za liha pozitivna cela števila velja:

$\lambda (2n+1)=\sum _{k=1}^n((-1{)}^{k-1}\lambda (2n-2k+2))+(-1{)}^n\beta (1)J(2n),(n\in \mathbb{N}),$

kjer je $\beta (s)$ Dirichletova funkcija β, $J(s)$ pa integralska funkcija:

$J(s)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s+1)}\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{x^s}{\sin x}\mathrm{d}x,$

kjer je $\mathrm{\Gamma }(s)$ funkcija Γ.

$\lambda (-3)=-7\zeta (-3)=-\frac{7}{120}=-0,058\bar{3}.$

$\lambda (-1)=-\zeta (-1)=\frac{1}{12}=0,08\bar{3}.$

$\lambda (0)=0.$

$\lambda (1/2)=(1-\frac{\sqrt{2}}{2})\zeta (1/2)=-0,427727932693\dots .$

$\lambda (1)=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots =\mathrm{\infty }.$

$\lambda (3/2)=1,688761186655\dots .$

$\lambda (2)=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{8}=1,233700550136\dots ,$ Predloga:OEIS.

$\lambda (3)=\lambda (2)J(1)-\beta (1)J(2)=\frac{7\zeta (3)}{8}=1,051799790264\dots .$

$\lambda (4)=1+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{5^4}+\cdots =\frac{{\pi }^4}{96}=1,014678031604\dots .$

$\lambda (5)=\lambda (4)J(1)-\lambda (2)J(3)+\beta (1)J(4)=\frac{31\zeta (5)}{32}=1,004523762795\dots .$

$\lambda (6)=1+\frac{1}{3^6}+\frac{1}{5^6}+\cdots =\frac{{\pi }^6}{960}=1,001447076640\dots .$

$\lambda (7)=\lambda (6)J(1)-\lambda (4)J(3)+\lambda (2)J(5)-\beta (1)J(6)=\frac{127\zeta (7)}{128}=1,000471548652\dots .$

Velja tudi zveza:

$\log D=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{2n+1}}{n}{\left(\frac{2D}{\pi }\right)}^{2n}\lambda (2n),$

kjer je $D$ Dottiejino število.

Glej tudi

• Dirichletova funkcija beta
• Legendrova funkcija hi
• Kepler-Bouwkampova konstanta

Viri

• Predloga:Navedi knjigo Glej razdelek §23.2
• Predloga:Navedi revijo
• Predloga:Navedi arXiv
• Predloga:Navedi splet
• Predloga:Navedi knjigo

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld