Funkcija (matematika)

Predloga:Drugipomeni2 Predloga:Funkcije Fúnkcija $f:A⟶B$ je v matematiki preslikava, ki vsakemu elementu množice A priredi natanko en element množice B.

Če definiramo funkcijo $f:a⟼b$, je a podatek ali original, b pa je funkcijska vrednost oziroma rezultat ali slika. Funkcijsko zvezo lahko krajše zapišemo $b=f(a)$.

Množico vseh originalov (množico A) imenujemo definicijsko območje funkcije - ${𝒟}_f$, množico vseh slik pa zaloga vrednosti funkcije - ${𝒵}_f$ (to je v splošnem podmnožica množice B).

Vrste funkcij

Funkcija poveže vsakemu elementu v množici X (vhod oz. podatek) natančno en element v množici Y (izhod oz. rezultat). Dva različna elementa v X imata lahko isti izhod, in ni nujno, da so vsi elementi v Y izhodi

Graf funkcije
$\begin{array}{cc}& f:[-1,1,5]\to [-1,1,5]\\ & x\mapsto \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{array}$

Funkcija realne spremenljivke je funkcija, ki ima za podatke realna števila, tj.: ${𝒟}_f\subseteq ℝ$.

Realna funkcija je funkcija, ki ima za rezultate realna števila, tj.: ${𝒵}_f\subseteq ℝ$.

Realna funkcija realne spremenljivke je funkcija, ki ima za podatke in za rezultate realna števila, tj.: ${𝒟}_f\subseteq ℝ,{𝒵}_f\subseteq ℝ$.

Izraz funkcija v ožjem pomenu besede pomeni realna funkcija realne spremenljivke, saj ravno takšne funkcije matematika najpogosteje preučuje. Táko funkcijo lahko tudi ponazorimo z grafom v kartezični ravnini - graf funkcije je množica točk $(x,y)$, za katere velja zveza $y=f(x)$.

Izraz funkcija se v matematiki najpogosteje uporablja v ožjem pomenu (realna funkcija realne spremenljivke), vendar pa včasih to besedo uporabljamo tudi v širšem pomenu - za splošnejše preslikave, npr.:

• realne funkcije naravne spremenljivke, ki se imenujejo tudi zaporedja: ${𝒟}_f=\mathbb{N},{𝒵}_f\subseteq ℝ$
• kompleksne funkcije kompleksne spremenljivke, ki imajo za podatke in rezultate kompleksna števila: ${𝒟}_f\subseteq ℂ,{𝒵}_f\subseteq ℂ$

Značilnosti funkcij

Funkcija $f:A⟶B$ je:

• injektivna, če vsak par različnih elementov iz množice A preslika v par različnih elementov v množici B;
• surjektivna, če je vsak element iz množice B slika vsaj enega elementa iz množice A;
• bijektivna, če je injektivna in surjektivna hkrati.

Funkcija f je

• soda funkcija, če za vsak x velja: $f(-x)=f(x)$
• liha funkcija, če za vsak x velja: $f(-x)=-f(x)$

Funkcija f je na danem intervalu (a, b)

• naraščajoča , če velja: $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$
• padajoča, če velja $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$.

Ničla funkcije je tam, kjer je $f(a)=0$ oz. kjer se graf funkcije stika z abcisno (vodoravno) osjo.

Glej tudi

• seznam matematičnih funkcij
• preslikava
• transformacija