Funkcija digama

Graf funkcije $\psi (x),(-5\le x\le 10)$

Funkcija digama $\psi (s)$ v kompleksni ravnini. Barva točke $s$ označuje vrednost $\psi (s)$. Močne barve pomenijo vrednosti blizu 0, odtenek pa označuje vrednost argumenta.

Funkcija digama je v matematiki specialna funkcija določena kot logaritemski odvod funkcije Γ:

$ϝ(x)\equiv \psi (x)\equiv \mathrm{\Psi }(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln \mathrm{\Gamma }(x)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)}{\mathrm{\Gamma }(x)}.$

Označuje se z grškima črkama, veliko črko digama (Ϝ) in pogosteje z malo ali veliko črko psi (ψ, Ψ), ali pa tudi kot ${\psi }_0$, oziroma ${\psi }^0$. Je prva od funkcij poligama, ki so njeni n-ti odvodi.

Z veliko črko digama včasih označujejo funkcijo digama, definirano s fakulteto:

$ϝ(x)\equiv \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln x!.$

Obe tako definirani funkciji sta povezani z:

$ϝ(x)=\psi (x+1).$

Povezava s harmoničnimi števili

Funkcija ψ je povezana s harmoničnimi števili:

$\psi (n)=\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}-\gamma \equiv H_{n-1}-\gamma ,(n\ge 2),$

kjer je H_n n-to harmonično število, γ pa Euler-Mascheronijeva konstanta. Za polovične vrednosti se jo lahko izrazi kot:

$\psi (n+\frac{1}{2})=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^n\frac{2}{2k-1}\equiv -\gamma +H_{n-1/2}.$

Integralski izrazi

Izrazi se jo lahko z integralom:

$\psi (x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{t{e}^t}-\frac{e^{-xt}}{1-e^{-t}})\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{e^t}-\frac{1}{(1-t{)}^x})\frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln x-\frac{1}{2x}-2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t\mathrm{d}t}{(t^2+x^2)(e^{2\pi t}-1)},$

ki velja, če je realni del od $x$ pozitiven. To se lahko zapiše kot:

$\psi (x+1)=-\gamma +\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-t}-e^{-(x+1)t}}{1-e^{-t}}\mathrm{d}t=-\gamma +\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-t^x}{1-t}\mathrm{d}t,$

kar sledi iz Eulerjeve integralske formule za harmonična števila.

Razvoji v vrsto v kompleksnem

Za absolutni vrednost argumenta veljata razvoja v vrsti:

$\psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\zeta (n)z^{n-1},(|z|<1),$

$\psi (z+1)=\frac{1}{2}{z}^{-1}-\frac{1}{2}\pi \cot (\pi z)-(1-z^2{)}^{-1}+1-\gamma -\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[\zeta (2n+1)-1]z^{2n},(|z|<2).$

Funkcijo ψ se lahko izračuna v kompleksni ravnini razen za negativna cela števila s pomočjo vrste:

$\psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{z}{n(n+z)}\right),(z\ne -1,-2,-3,\dots ).$

Taylorjeva vrsta

Funkcija ψ ima racionalno vrsto zeta, ki je dana s Taylorjevo vrsto pri z=1:

$\psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\zeta (k+1)(-z{)}^k.$

Vrsta konvergira za |z|<1. Tukaj je $\zeta (n)$ Riemannova funkcija ζ. Vrsto se lahko preprosto izpelje iz ustrezne Taylorjeve vrste za Hurwitzevo funkcijo ζ.

Newtonova vrsta

Newtonova vrsta za funkcijo ψ sledi iz Eulerjeve integralske formule:

$\psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{k}),$

kjer je $(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{k})$ binomski koeficient.

Refleksijska formula

Za funkcijo ψ velja refleksijska formula, ki je podobna tisti za funkcijo Γ:

$\psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot \left(\pi x\right).$

Rekurenčna enačba

Za funkcijo ψ velja rekurenčna enačba:

$\psi (x+1)=\psi (x)+\frac{1}{x}.$

Lahko se reče, da je »teleskop« za 1/x, saj velja:

$\mathrm{\Delta }[\psi ](x)=\frac{1}{x},$

kjer je Δ sprednji diferenčni operator. To odgovarja rekurenčni enačbi delnih vsot harmonične vrste, od koder sledi enačba:

$\psi (n)=H_{n-1}-\gamma .$

V splošnem velja:

$\psi (x+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{k}-\frac{1}{x+k}).$

Gaussovska vsota

Funkcija ψ ima gaussovsko vsoto oblike:

$\frac{-1}{\pi k}\sum _{n=1}^k\sin \left(\frac{2\pi nm}{k}\right)\psi \left(\frac{n}{k}\right)=\zeta (0,\frac{m}{k})=-B_1\left(\frac{m}{k}\right)=\frac{1}{2}-\frac{m}{k}$

za cela števila $0<m<k$. Tukaj sta ζ(s,q) Hurwitzeva funkcija ζ in $B_n(x)$ Bernoullijev polinom. Poseben primer multiplikacijskega izreka je:

$\sum _{n=1}^k\psi \left(\frac{n}{k}\right)=-k(\gamma +\log k),$

posplošitev pa:

$\sum _{p=0}^{q-1}\psi (a+p/q)=q(\psi (qa)-\ln q),$

kjer je q naravno število, 1-qa pa ne.

Gaussov izrek za funkcijo ψ

Za pozitivni celi števili m in k (m < k) se lahko funkcijo ψ izrazi s pomočjo elementarnih funkcij kot:

$\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(m/k)}{\mathrm{\Gamma }(m/k)}\equiv \psi \left(\frac{m}{k}\right)=-\gamma -\ln (2k)-\frac{\pi }{2}\cot \left(\frac{m\pi }{k}\right)+2\sum _{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil }\cos \left(\frac{2\pi nm}{k}\right)\ln (\sin \left(\frac{n\pi }{k}\right))$

Računanje in približki

Po algoritmu AS 103 v jeziku ISO Fortran J. M. Bernarda se lahko izračuna funkcijo ψ za realni x z:

$\psi (x)=\ln x-\frac{1}{2x}-\frac{1}{12x^2}+\frac{1}{120x^4}-\frac{1}{252x^6}+O\left(\frac{1}{x^8}\right),$

ali:

$\psi (x)=\ln x-\frac{1}{2x}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (1-2n)}{x^{2n}},$

$\psi (x)=\ln x-\frac{1}{2x}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}}{2n{x}^{2n}}.$

Tu je n celo število, $B_n$ pa n-to Bernoullijevo število, $\zeta (n)$ pa Riemannova funkcija ζ.

Druge značilnosti

• Razvoja v neskončno vrsto:

  $\psi (x)=-\frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\psi (1)x^n}{x!},$

  $\psi (x)=\ln x-\frac{1}{2x}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (1-2n)}{x^{2n}},$

kjer je $\zeta (x)$ Riemannova funkcija ζ.

• Logaritemski razvoj:

  $\psi (x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\ln (x+k).$

• Dvakratni argument:

  $\psi (2x)=\frac{1}{2}\psi (x)+\frac{1}{2}\psi (x+\frac{1}{2})+\ln 2.$

Posebne vrednosti

Sledi nekaj posebnih vrednosti funkcije ψ.

$\psi (8)=\frac{363}{140}-\gamma$

$\psi (6)=\frac{137}{60}-\gamma$

$\psi (4)=\frac{11}{6}-\gamma$

$\psi (3)=\frac{3}{2}-\gamma$

$\psi (2)=1-\gamma$

$\psi (1)=-\gamma$

$\psi \left(\frac{1}{2}\right)=-2\ln 2-\gamma$

$\psi \left(\frac{1}{3}\right)=-\frac{\pi }{2\sqrt{3}}-\frac{3}{2}\ln 3-\gamma$

$\psi \left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{\pi }{2}-3\ln 2-\gamma$

$\psi \left(\frac{1}{6}\right)=-\frac{\pi }{2}\sqrt{3}-2\ln 2-\frac{3}{2}\ln 3-\gamma$

$\psi \left(\frac{1}{8}\right)=-\frac{\pi }{2}-4\ln 2-\frac{1}{\sqrt{2}}[\pi +\ln (2+\sqrt{2})-\ln (2-\sqrt{2})]-\gamma$

Glej tudi

• funkcija trigama

Viri

• Predloga:Citat Glej razdelek §6.4
• Predloga:MathWorld

Zunanje povezave

• Cephes - Matematična knjižnica specialnih funkcij v jezikih C in C++ Predloga:Ikona en
• [1] - Statistični algoritem Psi (funkcija digama) v jeziku ISO Fortran J. M. Bernarda Predloga:Ikona en