Racionalna vrsta zeta

Racionalna vrsta zeta je v matematiki predstavitev poljubnega realnega števila z neskončno vrsto, ki vsebuje racionalna števila, z Riemannovo funkcijo ζ(s) ali Hurvitzevo funkcijo ζ(s, q). Posebej je za dano realno število $x$ racionalna vrsta ζ dana kot:

$x=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{q}_n\zeta (n,m),$

kjer je $q_n$ racionalno število, vrednost $m$ je fiksna, $\zeta (s,m)$ pa je Hurwitzeva funkcija ζ. Ni težko pokazati, da se na ta način lahko predstavi vsako realno število $x$.

Elementarne vrste

Za celo število $m>1$ je:

$x=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{q}_n[\zeta (n)-\sum _{k=1}^{m-1}{k}^{-n}].$

Za $m=2$ ima več zanimivih števil preproste izraze kot racionalne vrste ζ:

$1=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}[\zeta (n)-1]$

in:

$1-\gamma =\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}[\zeta (n)-1]=0,422784335098\dots ,$ Predloga:OEIS,

kjer je γ Euler-Mascheronijeva konstanta. Vrsta:

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}[\zeta (2n)-1]$

sledi iz vsote Gauss-Kuzminove porazdelitve. Obstajata tudi vrsti za število π:

$\ln \pi =\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{2(3/2{)}^n-3}{n}[\zeta (n)-1]$

in:

$\frac{13}{30}-\frac{\pi }{8}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{4^{2n}}[\zeta (2n)-1],$

ki je pomembna zaradi hitre konvergence. Zadnja vrsta sledi iz splošne enakosti:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{t}^{2n}[\zeta (2n)-1]=\frac{t^2}{1+t^2}+\frac{1-\pi t}{2}-\frac{\pi t}{e^{2\pi t}-1},$

ki sledi iz rodovne funkcije za Bernoullijeva števila $B_n$:

$\frac{x}{e^x-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_n\frac{t^n}{n!}.$

Adamchik in Srivastava sta podala podobno vrsto:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^{2n}}{n}\zeta (2n)=\ln \left(\frac{\pi t}{\sin (\pi t)}\right).$

Vrste povezane s funkcijo poligama

Iz Taylorjeve vste za funkcijo poligama v točki $z=1$ se lahko ipelje več dodatnih povezanih izrazov. Taylorejeva vrsta v tej točki je:

${\psi }^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{m+k+1}(m+k)!\zeta (m+k+1)\frac{z^k}{k!}.$

Vrsta konvergira za $|z|<1$. Posebni primer je:

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{t}^n[\zeta (n)-1]=-t[\gamma +\psi (1-t)-\frac{t}{1-t}],(|t|<2).$

Tukaj je ψ funkcija digama, ${\psi }^{(m)}$ pa je funkcija poligama. Lahko se izpelje več vrst z binomskimi koeficienti:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+\nu +1}{k})[\zeta (k+\nu +2)-1]=\zeta (\nu +2),$

kjer je $\nu$ kompleksno število. Izraz sledi iz razvoja v vrsto Hurwitzeve ζ:

$\zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s+k-1}{s-1})(-y{)}^k\zeta (s+k,x)$

v točki $y=-1$. Podobne vrste se lahko izpeljejo s preprosto algebro:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+\nu +1}{k+1})[\zeta (k+\nu +2)-1]=1$

in alternirajoče vrste:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+\nu +1}{k+1})[\zeta (k+\nu +2)-1]=2^{-(\nu +1)},$

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+\nu +1}{k+2})[\zeta (k+\nu +2)-1]=\nu [\zeta (\nu +1)-1]-2^{-\nu },$

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+\nu +1}{k})[\zeta (k+\nu +2)-1]=\zeta (\nu +2)-1-2^{-(\nu +2)}.$

Za celo število $n\ge 0$ se lahko vrsta:

$S_n=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+n}{k})[\zeta (k+n+2)-1]$

zapiše kot končna vsota:

$S_n=(-1{)}^n[1+\sum _{k=1}^n\zeta (k+1)].$

Izraz sledi iz preproste rekurzivne enačbe $S_n+S_{n+1}=\zeta (n+2)$.

Naslednja vrsta:

$T_n=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+n-1}{k})[\zeta (k+n+2)-1]$

se lahko za celo število $n\ge 1$ zapiše kot:

$T_n=(-1{)}^{n+1}[n+1-\zeta (2)+\sum _{k=1}^{n-1}(-1{)}^k(n-k)\zeta (k+1)].$

Izraz sledi iz enakosti $T_n+T_{n+1}=S_n$. Ta proces se lahko uporabi rekurzivno za končno vsoto splošnih izrazov oblike:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+n-m}{k})[\zeta (k+n+2)-1],(m\in {\mathbb{Z}}^{+}).$

Polcele potenčne vrste

Podobne vrste se lahko razvijejo z raziskovanjem Hurwitzeve funkcije ζ za polcela števila. Tako je na primer vrsta:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (k+n+2)-1}{2^k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k+1}{n+1})=(2^{n+2}-1)\zeta (n+2)-1.$

Izrazi v obliki p-vrst (hiperharmoničnih vrst)

Adamchik in Srivastava sta podala vrsti:

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{n}^m[\zeta (n)-1]=+\sum _{k=1}^{m}k!S(m+1,k+1)\zeta (k+1),$

in:

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{n}^m[\zeta (n)-1]=-1+\frac{1-2^{m+1}}{m+1}{B}_{m+1}-\sum _{k=1}^m(-1{)}^{k}k!S(m+1,k+1)\zeta (k+1),$

kjer so $B_k$ Bernoullijeva števila, $S(m,k)$ pa Stirlingova števila 2. vrste.

Druge vrste

Drugi konstanti s pomembnima racionalnima vrstama ζ sta na primer:

• Hinčinova konstanta
• Apéryjeva konstanta $\zeta (3)$

Viri

• Predloga:Citat
• Predloga:Citat