Izrek o vrtilni količini

Izrèk ò vrtílni količíni pove, da je sprememba vrtilne količine telesa glede na izbrano osišče v časovni enoti, enaka vsoti sunkov vseh zunanjih navorov:

$\frac{d\mathrm{\Gamma }}{dt}=𝐌$

Kadar na telo ne delujejo zunanji navori (M = 0), velja dΓ/dt = 0, oziroma Γ = konst. Ker je tudi vztrajnostni moment telesa konstanten, ostaja kotna hitrost takega telesa konstantna. Trditev je znana kot izrek o ohranitvi vrtilne količine.

Analogen izrek, ki velja za premo gibanje, je izrek o gibalni količini.

Dokaz izreka

Izrek lahko hitro dokažemo za točkasta telesa. Začnemo z definicijo vrtilne količine, po kateri je ta enaka vektorskemu produktu ročice r in gibalne količine G:

$\mathrm{\Gamma }=𝐫\times 𝐆$

Enačbo odvajamo po času t:

$\frac{d\mathrm{\Gamma }}{dt}=𝐫\times \frac{d𝐆}{dt}+\frac{d𝐫}{dt}\times 𝐆$

Upoštevamo definicije gibalne količine p = m v, hitrosti v = dr/dt in pospeška a = dv/dt, pa lahko enačbo prepišemo v obliko:

$\frac{d\mathrm{\Gamma }}{dt}=𝐫\times m𝐚+𝐯\times m𝐯$

Ker je vektorski produkt vektorja s samim seboj enak nič, drugi člen (v×v) odpade. Po Newtonovem zakonu je produkt mase in pospeška enak sili F, skladno z definicijo navora pa je produkt r×F ravno enak navoru, s čimer je izrek dokazan.