Matrika vrtenja

Matrika vrtenja (tudi matrika rotacije ali rotacijska matrika) je v linearni algebri matrika, ki opisuje vrtenje (rotacijo) v Evklidskem prostoru. Enostaven primer je matrika, ki zavrti točke v xy ravnini Kartezičnega koordinatnega sistema v nasprotni smeri od gibanja urinih kazalcev za kot $\theta$ okoli izhodišča koordinatnega sistema, ki jo lahko zapišemo v obliki

$R=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$.

Rotacijske matrike so vedno kvadratne, njeni elementi pa so realna števila. Matrike vrtenja so ortogonalne matrike, ki imajo determinanto enako 1. Zanje torej velja

$R^T=R^{-1},\det R=1$.

Množica matrik vrtenja tvori grupo, ki jo poznamo kot rotacijsko grupo ali specialno ortogonalno grupo.

Matrike vrtenja označujemo z $R$ (matrika rotacije).

Vrtenje v dvorazsežnem prostoru

Vrtenje vektorja v smeri gibanja urinih kazalcev za kot θ. Vektor je najprej usmerjen vzdolž osi x.

Vrtenje vektorja za kot θ v sistemu z nestandardno usmeritvijo koordinatnih osi.

V dveh razsežnostih ima matrika vrtenja obliko

$R(\theta )=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$.

Ta matrika zavrti stolpični vektor v skladu z

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$.

Tako dobimo nove koordinate $(x^{\prime },y^{\prime })$ za točko $(x,y)$

$x^{\prime }=x\cos \theta -y\sin \theta$,

$y^{\prime }=x\sin \theta +y\cos \theta$.

Smer vrtenja vektorja je mišljena v nasprotni smeri od gibanja urinih kazalcev, če je $\theta$ pozitiven, in v smeri gibanja urinih kazalcev, če je $\theta$ negativen.

$R(-\theta )=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$.

Pogosta vrtenja

Pogosto se uporabljajo vrtenja za 90° in 180°:

$R(90^{\circ })=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$ (vrtenje za 90° v nasprotni smeri gibanja urinih kazalcev)

$R(180^{\circ })=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$ (vrtenje za 180° v katerikoli smeri – polovični obrat)

$R(270^{\circ })=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$ (vrtenje za 90° v smeri gibanja urinih kazalcev)

Vrtenje vektorja v nestandardnem sistemu koordinatnih osi (glej sliko) se uporablja v dvorazsežni računalniški grafiki, kjer je izhodišče koordinatnega sistema v zgornjem levem kotu zaslona, pri tem pa y-os poteka navzdol po zaslonu računalnika.

Vrtenje v trirazsežnem prostoru

Osnovna vrtenja

Vrtenja okoli koordinatnih osi $x,y,z$ v trirazsežnem desno orientiranem prostoru dajejo naslednje matrike

$\begin{array}{cc}{R}_x(\theta )& =\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\\ R_y(\theta )& =\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0& \sin \theta \\ 0& 1& 0\\ -\sin \theta & 0& \cos \theta \end{array}\right]\\ R_z(\theta )& =\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right].\end{array}$.

Posplošitev vrtenja

Poljubno vrtenje dobimo s pomočjo množenja matrik

Lastnosti matrik vrtenja

V trirazsežnem prostoru, kjer je $a$ os vrtenja in $\theta$ je kot vrtenja, $R_{a,\theta }\in {ℝ}^3$

• $R_{a,\theta }^T=R_{a,\theta }^{-1}$ (i.e., $R_{a,\theta }$ je ortogonalna matrika
• $\det \left(R_{a,\theta }\right)=1$
• $R_{a,(\theta +r)}=R_{a,\theta }\cdot R_{a,r}$
• $R_{a,0}=I$
• lastne vrednosti $R_{a,\theta }$ so

$\{1,e^{\lim i\theta }\}=\{1,\cos (\theta )+i\sin (\theta ),\cos (\theta )-i\sin (\theta )\},$

• sled matrike $R_{a,\theta }$ je enaka $1+2\cos (\theta )$ kar je enako vsoti njenih lastnih vrednosti.

kjer je

• $a$ os vrtenja
• $\det \left(R_{a,\theta }\right)$ je determinanta
• $I$ enotska matrika ($I\in {ℝ}^n$)
• $i$ je običajna imaginarna enota za katero velja $i^2=-1$

Zgledi

Matrika

$Q=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$

odgovarja vrtenju za 90° v ravnini

Transponirana matrika matrike 2×2

$M=\left[\begin{array}{cc}0.936& 0.352\\ 0.352& -0.936\end{array}\right]$

je sama sebi obratna, ker pa je njena determinanta −1, to ni matrika vrtenja, je pa matrika, ki daje zrcaljenje preko premice $11y=2x$

Rotacijska matrika 3×3

$Q=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\\ 0& -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]$

odgovarja vrtenju za −30° okoli x osi Rotacijska matrika 3×3

$Q=\left[\begin{array}{ccc}0.36& 0.48& -0.8\\ -0.8& 0.60& 0\\ 0.48& 0.64& 0.60\end{array}\right]$

odgovarja vrtenju za okoli -74° okoli osi (−¹⁄₃,²⁄₃,²⁄₃) Permutacijska matrika 3×3

$P=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$

je matrika vrtenja, kot je tudi vsaka soda permutacija Naslednja matrika 3×3

$M=\left[\begin{array}{ccc}3& -4& 1\\ 5& 3& -7\\ -9& 2& 6\end{array}\right]$

ima determinanto +1, toda njena transponirana ni sebi obrnjena, kar pomeni, da ni matrika vrtenja Matrika 4×3

$M=\left[\begin{array}{ccc}0.5& -0.1& 0.7\\ 0.1& 0.5& -0.5\\ -0.7& 0.5& 0.5\\ -0.5& -0.7& -0.1\end{array}\right]$

ni kvadratna in tako ne more biti matrika vrtenja Matrika 4×4

$Q=\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right]$

predstavlja izoklinsko vrtenje, Matrika 5×5

$Q=\left[\begin{array}{ccccc}0& -1& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

je matrika vrtenja, ker zavrti vektorje v ravnini prvih dveh koordinatnih osi za 90° in zavrti vektorje v ravnini drugih dveh osi za 180°, pri tem pa pusti zadnjo os nespremenjeno

Zunanje povezave

• Matrika vrtenja na MathWorld Predloga:Ikona en
• Matrika vrtenja (značilnosti) Predloga:Ikona en
• Matrika vrtenja na Citizendium Predloga:Ikona en
• Matrika vrtenja na MathPages Predloga:Ikona en