Nesimetrična normalna porazdelitev

Nesimetrična normalna porazdelitev
Slika:Skew normal densities sl.svg Funkcija gostote verjetnosti za nesimetrično normalno porazdelitev
Slika:Skew normal cdfs sl.svg Zbirna funcija verjetnosti za nesimetrično normalno porazdelitev.
oznaka	$SN(\xi ,\omega ,\alpha )$ tudi $Skew-Normal(\xi ,\omega ,\alpha )$
parametri	$\xi$ parameter lokacije (realno število) $\omega$ parameter merila (pozitivno realno število) $\alpha$ parameter oblike (realno število)
interval	$x\in (-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\frac{1}{\omega \pi }{e}^{-\frac{(x-\xi {)}^2}{2{\omega }^2}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\alpha \left(\frac{x-\xi }{\omega }\right)}{\int }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$\mathrm{\Phi }\left(\frac{x-\xi }{\omega }\right)-2T(\frac{x-\xi }{\omega },\alpha )$ $T(h,a)$ je Owenova T funkcija glej tudi definicijo na levi strani
pričakovana vrednost	$\xi +\omega \delta \sqrt{\frac{2}{\pi }}$ kjer je $\delta =\frac{\alpha }{\sqrt{1+{\alpha }^2}}$
mediana
modus
varianca	${\omega }^2(1-\frac{2{\delta }^2}{\pi })$
simetrija	$\frac{4-\pi }{2}\frac{{\left(\delta \sqrt{2/\pi }\right)}^3}{{(1-2{\delta }^2/\pi )}^{3/2}}$
sploščenost	$2(\pi -3)\frac{{\left(\delta \sqrt{2/\pi }\right)}^4}{{(1-2{\delta }^2/\pi )}^2}$
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)	$2\exp (\xi t+\frac{{\omega }^2{t}^2}{2})\mathrm{\Phi }\left(\omega \delta t\right)$
karakteristična funkcija	$\exp (\mu it-\frac{{\sigma }^2{t}^2}{2})(1+i\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(\frac{\sigma \delta t}{\sqrt{2}}))$

Nesimetrična normalna porazdelitev (tudi asimetrična normalna porazdelitev) je zvezna verjetnostna porazdelitev, ki posplošuje normalno porazdelitev tako, da je možen koeficient simetrije, ki je različen od nič.

Definicija

Označimo s $\varphi (x)$ funkcijo gostote verjetnosti za normalno porazdelitev

$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$

tako, da je zbirna funkcija verjetnosti dana z

$\mathrm{\Phi }(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\varphi (t)dt=\frac{1}{2}[1+\text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)].$, potem je funkcija gostote verjetnosti za nesimetrično normalno porazdelitev s parametrom $\alpha$ enaka

$f(x)=2\varphi (x)\mathrm{\Phi }(\alpha x).$.

Pri tem je

• $\mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)$ Gaussova funkcija napake.

Lastnosti nesimetrične normalne porazdelitve

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za nesimetrično normalno porazdelitev je

$\frac{1}{\omega \pi }{e}^{-\frac{(x-\xi {)}^2}{2{\omega }^2}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\alpha \left(\frac{x-\xi }{\omega }\right)}{\int }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt$.

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$\mathrm{\Phi }\left(\frac{x-\xi }{\omega }\right)-2T(\frac{x-\xi }{\omega },\alpha )$

kjer je

• $T(h,a)$ Owenova T funkcija.

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je

$\xi +\omega \delta \sqrt{\frac{2}{\pi }}$

kjer je

• $\delta =\frac{\alpha }{\sqrt{1+{\alpha }^2}}$.

Varianca

Varianca je

${\omega }^2(1-\frac{2{\delta }^2}{\pi })$.

kjer je

• $\delta =\frac{\alpha }{\sqrt{1+{\alpha }^2}}$.

Sploščenost

Sploščenost je enaka

$2(\pi -3)\frac{{\left(\delta \sqrt{2/\pi }\right)}^4}{{(1-2{\delta }^2/\pi )}^2}$

kjer je

• $\delta =\frac{\alpha }{\sqrt{1+{\alpha }^2}}$.

Funkcija generiranja momemntov

Funkcija generiranja momentov je enaka

$2\exp (\xi t+\frac{{\omega }^2{t}^2}{2})\mathrm{\Phi }\left(\omega \delta t\right)$

kjer je

• $\mathrm{\Phi }(\omega \delta t)$ zbirna funkcija verjetnosti (glej zgoraj)
• $\delta =\frac{\alpha }{\sqrt{1+{\alpha }^2}}$.

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Kadar je $\alpha =0$ nesimetrije ni več in dobimo običajno normalno porazdelitev.
• Kadar je $\alpha \to \mathrm{\infty }$ dobimo polnormalno porazdelitev

Zunanje povezave

• Simulacija nesimetrične normalne porazdelitve Predloga:Ikona en
• Opis in lastnosti nesimetrične normalne porazdelitve Predloga:Ikona en

Glej tudi

• seznam verjetnostnih porazdelitev