Poševnohermitska matrika

Poševnohermitska matrika (tudi antihermitska) je kvadratna matrika s kompleksnimi elementi, katere konjugirano transponirana matrika je enaka njeni negativni vrednosti:

$A^{†}=-A,$

kjer je:

• $A^{†}$ konjugirano transponirana matrika matrike $A$.

To lahko zapišemo tudi kot:

$a_{i,j}=-\overline{a_{j,i}},$

kjer je:

• $a_{ij}$ element iz matrike $A$
• zgornja črtica pomeni konjugacijo elementa $a_{ij}$

Zgled

$\left[\begin{array}{cc}i& 2+i\\ -2+i& 3i\end{array}\right].$

Značilnosti

• lastne vrednosti poševnohermitske matrike so imaginarne
• poševnohermitske matrike so normalne, torej jih lahko diagonaliziramo, njihovi lastni vektorji pa so za različne vrednosti ortogonalni.
• Elementi na glavni diagonali so samo imaginarni (brez realnega dela)
• če sta matriki $A$ in $B$ poševnohermitski, potem je tudi matrika $aA+bB$ poševnohermitska za realna skalarja $a$ in $b$
• če je matrika $A$ poševnohermitska, potem je matrika $iA$ hermitska
• če je matrika $A$ poševnohermitska, potem je matrika $A^k$ hermitska, če je k sodo celo število, in poševno hermitska, če je k liho celo število
• če je $C$ poljubna kvadratna matrika, potem jo lahko zapišemo kot vsoto hermitske matrike $A$ in poševnohermitske matrike $B$ tako, da je $C=A+B$ in

da velja

$A=\frac{1}{2}(C+C^{†})$ in $B=\frac{1}{2}(C-C^{†})$

• Če je $A$ poševnohermitska matrika, potem je $e^A$ unitarna matrika.
• prostor poševnohermitskih matrik tvori Liejevo algebro in Liejevo grupo $U(n)$

Glej tudi

• hermitska matrika
• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld