Porazdelitev hi

Porazdelitev hi
Funkcija gostote verjetnosti za hi porazdelitev.
Zbirna funkcija verjetnosti za hi porazdelitev.
oznaka	$\chi (k)$ ali $Chi(k)$
parameter	$k>0$ (prostostne stopnje)
interval	$x\in [0;\mathrm{\infty })$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\frac{2^{1-k/2}{x}^{k-1}{e}^{-x^2/2}}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$P(k/2,x^2/2)$
pričakovana vrednost	$\mu =\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }((k+1)/2)}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}$
mediana
modus	$\sqrt{k-1}$ za $k\ge 1$
varianca	${\sigma }^2=k-{\mu }^2$
simetrija	${\gamma }_1=\frac{\mu }{{\sigma }^3}(1-2{\sigma }^2)$
sploščenost	$\frac{2}{{\sigma }^2}(1-\mu \sigma {\gamma }_1-{\sigma }^2)$
entropija	$\ln (\mathrm{\Gamma }(k/2))+$ $\frac{1}{2}(k-\ln (2)-(k-1){\psi }_0(k/2))$
funkcija generiranja momentov (mgf)	komplicirana (glej opis lastnosti)
karakteristična funkcija	komplicirana (glej opis lastnosti)

Porazdelitev hi (porazdelitev chi) je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev. Porazdelitev hi dobimo v primeru uporabe neodvisnih komponent k-dimenzionalnega verjetnostnega vektorja, od katerih je vsaka porazdeljena po normalni porazdelitvi. Dolžine vektorjev so v tem primeru porazdeljene po hi porazdelitvi s k prostostnimi stopnjami.

Lastnosti

Funkcija verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za F porazdelitev je

$\frac{2^{1-k/2}{x}^{k-1}{e}^{-x^2/2}}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}$

kjer je

• $\mathrm{\Gamma }(k/2)$ funkcija gama

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$P(k/2,x^2/2)$

kjer je

• $P(k,x)$ regulirana funkcija gama

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$\mu =\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }((k+1)/2)}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}$.

Varianca

Varianca je enaka

${\sigma }^2=k-{\mu }^2$.

Sploščenost

Sploščenost je enaka

$\frac{2}{{\sigma }^2}(1-\mu \sigma {\gamma }_1-{\sigma }^2)$

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov je

$M(t)=M(\frac{k}{2},\frac{1}{2},\frac{t^2}{2})+$

$t\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }((k+1)/2)}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}M(\frac{k+1}{2},\frac{3}{2},\frac{t^2}{2})$

Karakteristična funkcija

Karakteristična funkcija je

$\phi (t;k)=M(\frac{k}{2},\frac{1}{2},\frac{-t^2}{2})+$

$it\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }((k+1)/2)}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}M(\frac{k+1}{2},\frac{3}{2},\frac{-t^2}{2})$

kjer je

• $M(a,b,z)$ Kummerjeva konfluentna hipergeometrična funkcija.

Povezave z drugimi porazdelitvami

• če ima slučajna spremenljivka $X$ porazdelitev hi, tako, da je $X\sim {\chi }_k(x)$, potem ima slučajna spremenljivka $X^2$ porazdelitev hi $X^2\sim {\chi }_k^2$
• Rayleighjeva porazdelitev s $\sigma =1$ ima hi porazdelitev z dvema stopnjama prostosti.
• Boltzmannova porazdelitev (Maxwellova porazdelitev) za normalizirane hitrosti molekul se podreja hi porazdelitvi s tremi prostostnimi stopnjami .
• Če ima slučajna spremenljivka $X$ hi porazdelitev z 1 prostostno stopnjo, potem ima σX polnormalno porazdelitev za katerokoli nenegativno vrednost σ.

Zunanje povezave

• Opis porazdelitve hi Predloga:Ikona en

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev