Romb

Romb
Družina	bipiramida
Vrsta	štirikotnik
Stranice in oglišča	4, 4
Grupa simetrije	D2 (*2)
Dualni mnogokotnik	pravokotnik
Značilnosti	konveksni, izotoksalni

Romb

Rómb je v ravninski geometriji štirikotnik z vsemi stranicami enake dolžine, oziroma je enakostranični mnogokotnik s štirimi stranicami. Če je kakšen kot v enakostranem štirikotniku pravi, potem so vsi njegovi koti pravi, in takšen štirikotnik je kvadrat, kjer so tudi stranice pravokotne med seboj. V vsakem rombu sta nasprotni stranici vzporedni. Romb je tako poseben primer paralelograma. Romb je paralelogramu to kar je kvadrat pravokotniku. Romb je tudi poseben primer deltoida, štirikotnika z dvema paroma enakih sosednjih stranic. Nasprotni stranici deltoida nista vzporedni dokler deltoid ni tudi romb. Romb je poseben primer romboida, paralelograma z enakima nasprotnima stranicama in enakima nasprotnima kotoma.

Splošne značilnosti

Romb v ravnini ima pet prostostnih stopenj: eno za obliko, eno za velikost, eno za usmerjenost in dve za lego.

Diagonali v rombu sta druga na drugo pravokotni. Paralelogram je romb, če sta diagonali med seboj pravokotni. S povezavo srednjih točk stranic lahko tvorimo pravokotnik.

Naj so A, B, C in D oglišča romba, označena levosučno. Če je $\overrightarrow{AB}$ vektor iz A v B, velja:

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC},$

$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}.$

Zadnja enakost izhaja iz vzporednosti CD in AB. Notranji produkt je:

$<\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}>=<\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}>$

$=<\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}>-<\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB}>+<\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BC}>-<\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AB}>$

$=0,$

ker sta normi AB in BC enaki, in ker je notranji produkt bilinearen in simetričen. Notranji produkt diagonal je enak nič, če sta le pravokotni.

• romb ima dve diagonali.
• diagonali romba sta razpolovnici kotov $\mathrm{\angle }ACD=\mathrm{\angle }ACB$, $\mathrm{\angle }DBA=\mathrm{\angle }DBC$ itd.
• vsota kvadratov diagonal je enaka kvadratu stranic, pomnoženemu s 4:

$e^2+f^2=4a^2.$

• diagonali se razpolavljata v težišču in velja:

$e=2a\cos \frac{\alpha }{2}=2a\sin \frac{\beta }{2},$

$f=2a\sin \frac{\alpha }{2}=2a\cos \frac{\beta }{2}.$

• romb ima dve osni simetriji.
• romb je kot deltoid poseben primer tangentnega štirikotnika, ni pa tetivni štirikotnik, saj, če je romb tetivni štirikotnik, je kvadrat. Ima včrtano krožnico s polmerom:

$\begin{array}{cc}r& =\frac{a\sin \alpha }{2}\\ & =\frac{ef}{2\sqrt{e^2+f^2}}.\end{array}$

Obseg

Obseg je skupna dolžina vseh stranic:

$o=4a.$

Ploščina

Ploščina romba je enaka polovici produkta dolžin njegovih diagonal:

$p=\frac{ef}{2}.$

Ker je romb tudi paralelogram s štirimi enakimi stranicami, je ploščina enaka dolžini stranice, pomnoženi z višino na to stranico:

$p=a{v}_a.$

$p=a^2\sin \alpha =a^2\sin \beta ,$

kjer je α kot med dvema stranicama v realnem intrervalu (0,π), $\beta =\pi -\alpha$.

Ploščina romba je enaka tudi produktu polobsega in polmera včrtane krožnice:

$p=2ar.$

Izvor besede

Beseda romb izhaja iz grščine za nekaj kar se vrti. Evklid je rabil besedo Predloga:Jezik-el2: rómbos - tamburin. Tedaj je moralo biti to glasbilo verjetno romboidne oblike in ne krožne, kot je danes. Njegovi prevajalci menijo, da je beseda izvedena iz grške Predloga:Jezik-el2: rémbo - vrteti se v krogu. Arhimed je rabil izraz »trdni romb« za dva stožca z isto osnovno ploskvijo. Prva sta besedo »romb« uporabila Heron in Papos Aleksandrijski.

Glej tudi

• azteški romb
• romboeder
• romb (znak)

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld