Studentova t-porazdelitev

Studentova t-porazdelitev (tudi t-porazdelitev ali Študentova t-porazdelitev) je zvezna verjetnostna porazdelitev.

Studentovo t-porazdelitev je odkril William Sealy Gosset (1876–1937) v letu 1908. Njeno odkritje je objavil pod psevdonimom Student (študent). Gosset je bil pivovar v pivovarni pri Guinnessu. Porazdelitev je odkril med raziskavo vpliva kvasovk na kakovost piva. Pozneje je ameriški statistik in ekonomski teoretik Harold Hotelling (1895 – 1973) razvil t porazdelitev. Ime porazdelitve pa je ostalo.

Definicija

Studentova t-porazdelitev je verjetnostna porazdelitev razmerja

$\frac{Z}{\sqrt{V/\nu }}=Z\sqrt{\nu /V}$

kjer ima

• $Z$ normalno porazdelitev s pričakovano vrednostjo $0$ in varianco $1$
• $V$ ima porazdelitev hi-kvadrat z $\nu$ prostostnimi stopnjami
• $Z$ and $V$ sta statistično neodvisni slučajni spremenljivki.

Lastnosti t porazdelitve

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za t porazdelitev je

$\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{\nu +1}{2})}{\sqrt{\nu \pi }\mathrm{\Gamma }(\frac{\nu }{2})}{(1+\frac{x^2}{\nu })}^{-(\frac{\nu +1}{2})}$.

kjer je

• $\mathrm{\Gamma }(z)$ funkcija gama.
• $\nu$ so prostostne stopnje porazdelitve

Kadar je $\nu$ parno (sodo) število je funkcija gostote verjetnosti enaka

$\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{\nu +1}{2})}{\sqrt{\nu \pi }\mathrm{\Gamma }(\frac{\nu }{2})}=\frac{(\nu -1)(\nu -3)\cdots (5)(3)}{2\sqrt{\nu }(\nu -2)(\nu -4)\cdots (4)(2)}.$

Kadar pa je $\nu$ neparno število (liho) pa je funkcija gostote verjetnosti enaka

$\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{\nu +1}{2})}{\sqrt{\nu \pi }\mathrm{\Gamma }(\frac{\nu }{2})}=\frac{(\nu -1)(\nu -3)\cdots (4)(2)}{\pi \sqrt{\nu }(\nu -2)(\nu -4)\cdots (5)(3)}.$

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}+x\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\nu +1}{2}\right)\cdot \\ \frac{{}_2{F}_1(\frac{1}{2},\frac{\nu +1}{2};\frac{3}{2};-\frac{x^2}{\nu })}{\sqrt{\pi \nu }\mathrm{\Gamma }(\frac{\nu }{2})}\end{array}$

kjer je

• ${}_2{F}_1$ hipergeometrična funkcija
• $\mathrm{\Gamma }(z)$ funkcija gama.

Zbirno funkcijo verjetnosti pa lahko izrazimo tudi s pomočjo nepopolne funkcije beta:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}f(u)du=I_x(\frac{\nu }{2},\frac{\nu }{2})=\frac{B(x;\frac{\nu }{2},\frac{\nu }{2})}{B(\frac{\nu }{2},\frac{\nu }{2})}$

kjer je

• $x=\frac{t+\sqrt{t^2+\nu }}{2\sqrt{t^2+\nu }}.$.
• $B(x,a,b)$ nepopolna funkcija beta

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$0\text{ za }\nu >1$

drugje je nedefinirana.

Varianca

Varianca je enaka

$\frac{\nu }{\nu -2}\text{ za vrednosti }\nu >2$,
$\mathrm{\infty }$ za $1<\nu \le 2$,
drugje je nedefinirana.

Sploščenost

Sploščenost je enaka

$\frac{6}{\nu -4}\text{ za }\nu >4$.

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov ni določena.

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Slučajna spremenljivka $Y$ ima F porazdelitev $Y\sim \mathrm{F}({\nu }_1=1,{\nu }_2=\nu )$ kadar je $Y=X^2$ in ima slučajna spremenljivka $X$ Studentovo t-porazdelitev $X\sim \mathrm{t}(\nu )$.

• Slučajna spremenljivka $Y$ ima normalno porazdelitev $Y\sim \mathrm{N}(0,1)$, ko velja $Y=\underset{\nu \to \mathrm{\infty }}{\lim }X$ in ima slučajna spremenljivka $X$ t porazdelitev $X\sim \mathrm{t}(\nu )$.

• Slučajna spremenljivka $X$ ima Cauchyjevo porazdelitev $X\sim \mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{y}(0,1)$, kadar ima $X$ t porazdelitev $X\sim \mathrm{t}(\nu =1)$.

Zunanje povezave

• Studentova t-porazdelitev na MathWorld Predloga:Ikona en
• Opis Studentove t-porazdelitve Predloga:Webarchive Predloga:Ikona en

Glej tudi

• seznam verjetnostnih porazdelitev