Tabela integralov

Integriranje je ena od dveh osnovnih operacij v infinitezimalnem računu. Ker za razliko od odvajanja ni trivialna, nam včasih pridejo prav tabele znanih integralov. Ta stran navaja nekaj najbolj znanih integralov.

Nedoločeni integrali

Za integracijsko konstanto uporabljamo oznako C in jo lahko določimo, če je znana vrednost primitivne funkcije v neki točki. V splošnem pa je konstanta C nedoločena.

Potence, koreni

$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\text{ pri }n\ne -1$

$\int x^{-1}dx=\int \frac{dx}{x}=\ln \left|x\right|+C$

$\int \sqrt{x}dx=\frac{2}{3}{x}^{3/2}+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{a-x^2}}dx=\arctan \frac{x}{\sqrt{a-x^2}}+C$

$\int \frac{x}{\sqrt{x^2-a}}dx=\sqrt{x^2-a}+C$

Polinomi, racionalne funkcije

$\int (ax+b)dx=\frac{a{x}^2}{2}+bx+C$

$\int (a{x}^2+bx+c)dx=\frac{a}{3}{x}^3+\frac{b}{2}{x}^2+cx+C$

$\int (ax+b{)}^{n}dx=\frac{(ax+b{)}^{n+1}}{a(n+1)}+C$

$\int \frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\ln |ax+b|+C$

$\int \frac{1}{x^2+1}dx=\arctan x+C$

$\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\ln |f(x)|+C$

Eksponentne, logaritemske funkcije

$\int e^{x}dx=e^x+C$

$\int e^{cx}\mathrm{d}x=\frac{1}{c}{e}^{cx}+C$

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$

$\int x{e}^{x}dx=e^x(x-1)+C$

$\int \frac{dx}{e^x}=-\frac{1}{e^x}+C$

$\int \frac{x}{e^x}dx=-\frac{x+1}{e^x}+C$

$\int \frac{e^x}{x}dx=-\mathrm{Ei}(-x)+C$      Opomba: Ei = eksponentni integral

$\int \ln xdx=x\ln x-x+C$

$\int {\log }_{a}xdx=x{\log }_{a}x-\frac{x}{\ln a}+C$

Trigonometrične funkcije

$\int \cos (nx)dx=\frac{sin(nx)}{n}+C$

$\int \sin (nx)dx=-\frac{cos(nx)}{n}+C$

$\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C$

$\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$

$\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x}=\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$

$\int \frac{dx}{{\sin }^{2}x}=\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$

$\int {\sin }^{2}xdx=\frac{2x-\sin 2x}{4}+C=\frac{x}{2}-\frac{sin2x}{4}+C$

$\int {\cos }^{2}xdx=\frac{2x+\sin 2x}{4}+C=\frac{x}{2}+\frac{sin2x}{4}+C$

Hiperbolične funkcije

$\int \sinh xdx=\cosh x+C$

$\int \cosh xdx=\sinh x+C$

$\int \tanh xdx=\ln |\cosh x|+C$

$\int \coth xdx=\ln |\sinh x|+C$

$\int \text{csch}xdx=\ln |\tanh \frac{x}{2}|+C$

$\int \text{sech}xdx=\arctan (\sinh x)+C$

Določeni integrali

Obstajajo funkcije katerih primitivnih funkcij ne moremo izraziti v zaprti obliki. Vendar lahko izračunamo vrednosti določenih integralov teh funkcij v nekaterih intervalih. Nekaj uporabnih določenih integralov je podanih spodaj.

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{\pi }{2a}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{(1+x)x^a}dx=\frac{\pi }{\sin (a\pi )},(a<1)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{a-1}}{1+x}dx=\frac{\pi }{\sin (a\pi )},(0<a<1)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{(1-x)x^a}dx=-\pi \mathrm{ctg},(a<1)$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{(1+x^2/a{)}^{(a+1)/2}}dx=\frac{\sqrt{a\pi }\mathrm{\Gamma }(a/2)}{\mathrm{\Gamma }[(a+1)/2)]},(a>0)$      (povezava z gostoto verjetnosti Studentove t-porazdelitve)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{a-1}}{1+x^b}dx=\frac{\pi }{b\sin (a\pi /b)},(0<a<b)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^a}{x^b+c^b}dx=\frac{\pi c^{a+1-b}}{b\sin [(a+1)\pi /b]},(0<a+1<b)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^a}{(x^b+c^b{)}^d}dx=\frac{(-1{)}^{d-1}\pi c^{a+1-bd}}{b\sin [(a+1)\pi /b](d-1)!\mathrm{\Gamma }[(a+1)/(b-d+1)]},(0<a+1<bd)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{1+2x\cos (a)+x^2}dx=\frac{a}{\sin a}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^b}{1+2x\cos (a)+x^2}dx=\frac{\pi }{\sin (b\pi )}\frac{\sin (ab)}{\sin a},(0<a<\frac{\pi }{2})$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{e^{ax}}dx=\frac{1}{a},(a>0)$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{e^{a{x}^2}}dx=2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{e^{a{x}^2}}dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}},(a>0)$      (Gaussov integral)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{e^{a^2{x}^2}}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2a},(a>0)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{e^{x^2+(a^2/x^2)}}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2e^{2a}}$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{e^{a{x}^2+2bx}}dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}}{e}^{b^2/a},(a>0)$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{e^{a{x}^2+bx+c}}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{a}{e}^{(b^2-4ac)/4a},(a>0)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x}{e^{x^2}}dx=\frac{1}{2}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x}{e^{a(x-b{)}^2}}dx=b\sqrt{\frac{\pi }{a}},(a>0)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^2}{e^{a{x}^2}}dx=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{\pi }{a^3}},(a>0)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^2}{e^{a^2{x}^2}}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{4a^3},(a>0)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^n}{e^{ax}}dx=\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\Gamma }(n+1)}{a^{n+1}},& (a>0,n>-1)\\ \frac{n!}{a^{n+1}},& (a>0,n\ge 0;(n\in {\mathbb{N}}_0))\end{array}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^n}{e^{a{x}^2}}dx=\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\Gamma }[(n+1)/2]}{2a^{(n+1)/2}},& (a>0,n>-1)\\ \frac{(2k-1)!!}{2^{k+1}{a}^k},& (a>0,n=2k,k\in \mathbb{Z})\\ \frac{k!}{2a^{k+1}},& (a>0,n=2k+1,k\in \mathbb{Z})\end{array}$      (!! je dvojna fakulteta)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{2n}}{e^{a{x}^2}}dx=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2^{n+1}{a}^n}\sqrt{\frac{\pi }{a}}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{2n+1}}{e^{a{x}^2}}dx=\frac{n!}{2a^{n+1}},(a>0,n>-1)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^n}{n{e}^x}dx=\mathrm{\Gamma }(n)$      (funkcija Γ)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\ln x}{e^x}dx=-\gamma =-0,5772156649\dots$      (Euler-Mascheronijeva konstanta)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sqrt{x}}{e^{ax}}dx=\frac{1}{2a}\sqrt{\frac{\pi }{a}}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{e^x\sqrt{x}}dx=\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$      (Eulerjev integral)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{e^{ax}\sqrt{x}}dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x}{e^x-1}dx=\mathrm{\Gamma }(2)\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$      ($\zeta (\cdot )$ jeRiemannova funkcija ζ (baselski problem))

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^3}{e^x-1}dx=\mathrm{\Gamma }(4)\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{15}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^n}{e^x-1}dx=\mathrm{\Gamma }(n+1)\zeta (n+1)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x\ln x}{e^{2\pi x}-1}dx=\frac{1}{24}-\frac{1}{2}\ln A$      (A je Glaisher-Kinkelinova konstanta)

$\underset{0}{\overset{1/2}{\int }}\ln \mathrm{\Gamma }(x+1)dx=-\frac{1}{2}-\frac{7}{24}\ln 2+\frac{1}{4}\ln \pi +\frac{3}{2}\ln A$

Glej tudi

• seznam integralov hiperboličnih funkcij
• seznam integralov racionalnih funkcij
• seznam integralov iracionalnih funkcij
• seznam integralov trigonometričnih funkcij
• seznam integralov krožnih funkcij
• seznam integralov inverznih hiperboličnih funkcij
• seznam integralov eksponentnih funkcij
• seznam integralov logaritemskih funkcij
• seznam integralov Gaussovih funkcij