Trikotna porazdelitev

Trikotna porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za trikotno porazdelitev.
Slika:Triangular distribution CMF sl.PNG Zbirna funkcija verjetnosti za trikotno porazdelitev.
parametri	$a:a\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ $b:b>a$ $c:a\le c\le b$
interval	$a\le x\le b$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\{\begin{array}{cc}\frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)}& \text{za }a\le x<c\\ \frac{2}{b-a}& \text{za }x=c\\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)}& \text{za }c<x\le b\end{array}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$\{\begin{array}{cc}\frac{(x-a{)}^2}{(b-a)(c-a)}& \text{za }a\le x<c\\ \frac{c-a}{b-a}& \text{za }x=c\\ 1-\frac{(b-x{)}^2}{(b-a)(b-c)}& \text{za }c<x\le b\end{array}$
pričakovana vrednost	$\frac{a+b+c}{3}$
mediana	$\{\begin{array}{cc}a+\frac{\sqrt{(b-a)(c-a)}}{\sqrt{2}}& \text{za }c\ge \frac{a+b}{2}\\ & \\ b-\frac{\sqrt{(b-a)(b-c)}}{\sqrt{2}}& \text{za }c\le \frac{a+b}{2}\end{array}$
modus	$c$
varianca	$\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18}$
simetrija	$\frac{\sqrt{2}(a+b-2c)(2a-b-c)(a-2b+c)}{5(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc{)}^{\frac{3}{2}}}$
sploščenost	$-\frac{3}{5}$
entropija	$\frac{1}{2}+\ln \left(\frac{b-a}{2}\right)$
funkcija generiranja momentov (mgf)	$2\frac{(b-c)e^{at}-(b-a)e^{ct}+(c-a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^2}$
karakteristična funkcija	$-2\frac{(b-c)e^{iat}-(b-a)e^{ict}+(c-a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^2}$

Trikotna porazdelitev je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev. Ime ima po značilni obliki funkcije gostote verjetnosti. Slučajna spremenljivka, ki je porazdeljena po trikotni porazdelitvi, lahko zavzame vrednosti, ki so večje od neke konstante (parameter a) in manjše od neke druge konstantne vrednosti (parameter b). Pri tem pa je modus porazdelitve enak tretji konstantni vrednosti (parameter c)

Lastnosti

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za trikotno porazdelitev je

$f(x|a,b,c)=\{\begin{array}{cc}\frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)}& \text{za }a\le x<c\\ \frac{2}{b-a}& \text{za }x=c\\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)}& \text{za }c<x\le b\\ 0& \text{za vse ostale vrednosti}\end{array}$

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$\{\begin{array}{cc}\frac{(x-a{)}^2}{(b-a)(c-a)}& \text{za }a\le x<c\\ \frac{c-a}{b-a}& \text{za }x=c\\ 1-\frac{(b-x{)}^2}{(b-a)(b-c)}& \text{za }c<x\le b\end{array}$.

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$\frac{a+b+c}{3}$.

Varianca

Varianca je enaka

$\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18}$.

Sploščenost

Sploščenost je

$-\frac{3}{5}$.

Koeficient simetrije

Koeficient simetrije je enak

$\frac{\sqrt{2}(a+b-2c)(2a-b-c)(a-2b+c)}{5(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc{)}^{\frac{3}{2}}}$.

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov je

$2\frac{(b-c)e^{at}-(b-a)e^{ct}+(c-a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^2}$.

Karakteristična funkcija

Karakteristična funkcija je

$-2\frac{(b-c)e^{iat}-(b-a)e^{ict}+(c-a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^2}$.

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Če sta $X$ in $Y$ dve slučajni spremenljivki, ki sta porazdeljeni po enakomerni zvezni porazdelitvi, potem je slučajna spremenljivka $Y=\frac{X_1+X_2}{2}$ porazdeljena po trikotni porazdelitvi s parametri $a=0$, $b=1$ in $c=1/2$
• Če sta $X$ in $Y$ dve slučajni spremenljivki, ki sta porazdeljeni po enakomerni zvezni porazdelitvi, potem je slučajna spremenljivka $|Y=X_1-X_2|$ porazdeljena po trikotni porazdelitvi s parametri $a=0$, $b=1$ in $c=0$

Zunanje povezave

• Opis trikotne porazdelitve Predloga:Ikona en
• Trikotna porazdelitev na MathWorld Predloga:Ikona en

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev