Fisherjeva porazdelitev

F porazdelitev
Slika:F distributionPDF sl.png Funkcija gostote verjetnosti za F porazdelitev.
Slika:F distributionCDF sl.png Zbirna funkcija verjetnosti za F porazdelitev.
oznaka	$F(d_1,d_2)$
parametri	$d_1>0,d_2>0$ (prostostni stopnji)
interval	$x\in [0,+\mathrm{\infty })$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\frac{\sqrt{\frac{(d_{1}x{)}^{d_1}{d}_2^{d_2}}{(d_{1}x+d_2{)}^{d_1+d_2}}}}{x\mathrm{B}(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2})}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$I_{\frac{d_{1}x}{d_{1}x+d_2}}(d_1/2,d_2/2)$
pričakovana vrednost	$\frac{d_2}{d_2-2}$ za $d_2>2$
mediana
modus	$\frac{d_1-2}{d_1}\frac{d_2}{d_2+2}$ za $d_1>2$
varianca	$\frac{2d_2^2(d_1+d_2-2)}{d_1(d_2-2{)}^2(d_2-4)}$ za $d_2>4$
simetrija	$\frac{(2d_1+d_2-2)\sqrt{8(d_2-4)}}{(d_2-6)\sqrt{d_1(d_1+d_2-2)}}$ za $d_2>6$
sploščenost	glej lastnosti - levo
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)	ne obstoja, momenti so lahko določeni kjerkoli
karakteristična funkcija	določljiva kjerkoli

F porazdelitev (tudi Fisherjeva porazdelitev) je družina nesimetričnih zveznih verjetnostnih porazdelitev . Znana je tudi kot Snedekorjeva F porazdelitev ali Fisher-Snedekorjeva porazdelitev (imenuje se po angleškem statistiku, evolucijskem biologu in genetiku Ronaldu Aylmerju Fisherju (1890 – 1962) in ameriškem matematiku in statistiku Georgu Waddelu Snedekorju (1881 – 1974)).

Najbolj pogosto se uporablja v analizi variance (ugotavljanje, če imata dva vzorca isto varianco, glej tudi F test za hipoteze o enakosti varianc v dveh normalno porazdeljenih statističnih populacijah) in v regresijski analizi. Porazdelitev sama je porazdelitev razmerja dveh neodvisnih spremenljivk, ki imata porazdelitvi hi-kvadrat (podobno porazdelitvi varianc v normalno porazdeljenih vzorcih)

$\frac{U_1/d_1}{U_2/d_2}$

kjer sta

• $U_1$ in $U_2$ dve neodvisni spremenljivki, ki imata porazdelitev hi-kvadrat
• $d_1$ in $d_2$ pa pripadajoči prostostni stopnji porazdelitve (glej porazdelitev hi-kvadrat).

Lastnosti

Funkcija verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za F porazdelitev je

$\frac{\sqrt{\frac{(d_{1}x{)}^{d_1}{d}_2^{d_2}}{(d_{1}x+d_2{)}^{d_1+d_2}}}}{x\mathrm{B}(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2})}$

kjer je

• $B(x,y)$ funkcija beta

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$I_{\frac{d_{1}x}{d_{1}x+d_2}}(d_1/2,d_2/2)$

kjer je

• $I_x(\alpha ,\beta )$ regulirana nepopolna funkcija beta

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je za $d_2>2$ enaka

$\frac{d_2}{d_2-2}$.

Varianca

Varianca je za $d_2>4$ enaka

$\frac{2d_2^2(d_1+d_2-2)}{d_1(d_2-2{)}^2(d_2-4)}$.

Sploščenost

Sploščenost je enaka

$\frac{20d_2-8d_2^2+d_2^3+44d_1-32d_1{d}_2+A}{d_1(d_2-6)(d_2-8)(d_1+d_2-2)/12}$

kjer je

• $A=5d_2^2{d}_1-22d_1^2+5d_2{d}_1^2-16.$

Povezave z drugimi porazdelitvami

• če je $X\sim \mathrm{F}({\nu }_1,{\nu }_2)$ potem ima slučajna spremenljivka $Y=\underset{{\nu }_2\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\nu }_{1}X$ hi-kvadrat porazdelitev ${\chi }_{{\nu }_1}^2$
• Porazdelitev $\mathrm{F}({\nu }_1,{\nu }_2)$ je enaka Hotellingovi t kvadrat porazdelitvi $({\nu }_1({\nu }_1+{\nu }_2-1)/{\nu }_2){\mathrm{T}}^2({\nu }_1,{\nu }_1+{\nu }_2-1)$.
• Če je $X\sim \mathrm{F}({\nu }_1,{\nu }_2),$ potem velja tudi $\frac{1}{X}\sim F({\nu }_2,{\nu }_1)$.
• Če ima spremenljivka $X\sim \mathrm{t}(\nu )$ Študentovo t porazdelitev potem velja $X^2\sim \mathrm{F}({\nu }_1=1,{\nu }_2=\nu )$.
• Če je $X\sim \mathrm{F}({\nu }_1,{\nu }_2)$ in$Y=\frac{{\nu }_{1}X/{\nu }_2}{1+{\nu }_{1}X/{\nu }_2}$ potem velja za slučajno spremenljivko $Y$, da ima porazdelitev beta $Y\sim \mathrm{Beta}({\nu }_1/2,{\nu }_2/2)$.
• Če je ${\mathrm{Q}}_X(p)$ kvantil $p$ za $X\sim \mathrm{F}({\nu }_1,{\nu }_2)$ in je ${\mathrm{Q}}_Y(1-p)$ kvantil $1-p$ for $Y\sim \mathrm{F}({\nu }_2,{\nu }_1)$ potem je ${\mathrm{Q}}_X(p)=1/{\mathrm{Q}}_Y(1-p)$.

Zunanje povezave

• Prikaz simulacije F porazdelitve Predloga:Ikona en
• Kalkulator za F porazdelitev Predloga:Webarchive Predloga:Ikona en
• Opis uporabe f porazdelitve Predloga:Ikona en

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev