Porazdelitev hi-kvadrat

Porazdelitev hi-kvadrat
Funkcija gostote verjetnosti za hi-kvadrat porazdelitev.
Zbirna funkcija verjetnosti za hi-kvadrat porazdelitev.
oznaka	${\chi }^2(k)$
parametri	k ∈ N1 — prostostne stopnje
interval	x ∈ [0, +∞)
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\frac{1}{2^{k/2}\mathrm{\Gamma }(k/2)}{x}^{k/2-1}{e}^{-x/2}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}\gamma (k/2,x/2)$
pričakovana vrednost	$k$
mediana	$\approx k(1-\frac{2}{9k}{)}^3$
modus	max{ k − 2, 0 }
varianca	$2k$
simetrija	$\sqrt{8/k}$
sploščenost	$\frac{12}{k}$
entropija	$\frac{k}{2}+\ln (2\mathrm{\Gamma }(k/2))+(1-k/2)\psi (k/2)$
funkcija generiranja momentov (mgf)	$(1-2t{)}^{-k/2}$   za | t | ≤ ½
karakteristična funkcija	$(1-2it{)}^{-k/2}$

Porazdelitev hi-kvadrat je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev vsot kvadratov neodvisnih normalno porazdeljenih slučajnih spremenljivk. Porazdelitev hi-kvadrat se pogosto uporablja pri statističnem testiranju hipotez ali pri kreiranju intervalov zaupanja.

Najbolj pogosto se porazdelitev hi-kvadrat v uporablja pri testu hi-kvadrat. Porazdelitev hi-kvadrat je poseben primer porazdelitve gama.

Definicija

Če so $X_1$, $X_2$, …..$X_k$ neodvisne slučajne spremenljivke, ki so normalno porazdeljene s pričakovano vrednostjo 0 in varianco 1, potem je slučajna spremenljivka

$Q=\sum _{i=1}^k{X}_i^2$

porazdeljena po porazdelitvi hi-kvadrat s k prostostnimi stopnjami. To zapišemo kot

$Q\sim {\chi }^2(k).$.

Lastnosti

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev hi-kvadrat je

$f(x;k)=\frac{1}{2^{k/2}\mathrm{\Gamma }(k/2)}{x}^{k/2-1}{e}^{-x/2}{\mathrm{𝟏}}_{\{x\ge 0\}},$

kjer je

• $\mathrm{\Gamma }(k/2)$ funkcija gama

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$F(x;k)=\frac{\gamma (k/2,x/2)}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}=P(k/2,x/2),$

kjer je

• $\gamma (k/2,x/2)$ spodnja nepopolna funkcija gama.
• $P(k/2,x/2)$ regulirana funkcija gama.

Kadar je $k=2$, dobi funkcija enostavnejšo obliko:

$F(x;2)=1-e^{-\frac{x}{2}}.$.

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$k$.

Varianca

Varianca je enaka

$2k$ .

Sploščenost

Sploščenost je enaka

$\frac{12}{k}$

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov je $(1-2t{)}^{-k/2}$  
za | t | ≤ ½

Karakteristična funkcija

Karakteristična funkcija je $(1-2it{)}^{-k/2}$      

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Če so $X_1,\dots ,X_n$ neodvisne in normalno porazdeljene slučajne spremenljivke, da je $X_i\sim N(\mu ,{\sigma }^2),i=1,\dots ,n$, potem ima

$Y=\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\mu }{\sigma }\right)}^2$

porazdeltev hi-kvadrat .

• Kadar je $n=2$, se porazdelitev hi-kvadrat iznenači z eksponentno porazdelitvijo.

${\chi }^2(2)\equiv \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(1/2)$.

• Če velja $Y_1\sim {\chi }^2(n_1)$ in $Y_2\sim {\chi }^2(n_2)$, potem ima slučajna spremenljivka

$F=\frac{Y_1/n_1}{Y_2/n_2}$

Fisherjevo porazdelitev s prostostnima stopnjama $(n_1,n_2)$.

Zunanje povezave

• opis porazdelitve na Mathworld Predloga:Ikona en
• Porazdelitev hi kvadrat] Predloga:Ikona en

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev