Laplaceova porazdelitev

Laplaceova porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za Laplaceovo porazdelitev Funkcija gostote verjetnosti za Laplaceovo porazdelitev
Zbirna funcija za Laplaceovo porazdelitev. Zbirna funcija za Laplaceovo porazdelitev.
oznaka	$Laplace(\mu ,b)$
parametri	$\mu$ parameter lokacije (realno število) $b>0$ parameter merila (realno število)
interval	$x\in (-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\frac{1}{2b}\exp (-\frac{|x-\mu |}{b})$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	glej opis lastnoti
pričakovana vrednost	$\mu$
mediana	$\mu$
modus	$\mu$
varianca	$2b^2$
simetrija	$0$
sploščenost	$3$
entropija	$\log (2eb)$
funkcija generiranja momentov (mgf)	$\frac{\exp (\mu t)}{1-b^2{t}^2}$ za $|t|<1/b$
karakteristična funkcija	$\frac{\exp (\mu it)}{1+b^2{t}^2}$

Laplaceova porazdelitev [laplásova ~] je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev, ki je določena z dvema parametroma. Včasih jo imenujejo tudi dvojna eksponentna porazdelitev, ker je ta porazdelitev pravzaprav razlika med dvema eksponentnima porazdelitvama.

Imenuje se po francoskem matematiku in astronomu Pierre-Simonu de Laplaceu (1749 – 1827).

Lastnosti

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev je

$f(x|\mu ,b)=\frac{1}{2b}\exp (-\frac{|x-\mu |}{b})$

to je

$=\frac{1}{2b}\{\begin{array}{cc}\exp (-\frac{\mu -x}{b})& \text{če je }x<\mu \\ \exp (-\frac{x-\mu }{b})& \text{če je }x\ge \mu \end{array}$

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(u)\mathrm{d}u$

to je

$=\{\begin{array}{ccc}& \frac{1}{2}\exp \left(\frac{x-\mu }{b}\right)& \text{če je }x<\mu \\ 1-& \frac{1}{2}\exp (-\frac{x-\mu }{b})& \text{če je }x\ge \mu \end{array}$

ali

$0,5[1+\mathrm{sgn}(x-\mu )(1-\exp (-|x-\mu |/b))].$

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$\mu$.

Varianca

Varianca je enaka

$2b^2$.

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov je

$\frac{\exp (\mu t)}{1-b^2{t}^2}$
za $|t|<1/b$.

Karakteristična funkcija

Karakteristična funkcija je

$\frac{\exp (\mu it)}{1+b^2{t}^2}$.

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Če ima slučajna spremenljivka $X$ Laplaceovo porazdelitev $X\sim \mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(0,b)$, potem ima spremenljivka $|X|$ eksponentno porazdelitev, kar zapišemo takole $|X|\sim \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(b^{-1})$.

• Če ima slučajna spremenljivka $X$ eksponentno pozazdelitev $X\sim \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda )$ in ima od $X$ neodvisna slučajna spremenljivka $Y$ Bernoullijevo porazdelitev $Y\sim$ $\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}(0,5)$, potem ima $X(2Y-1)$ Laplaceovo porazdelitev $X(2Y-1)\sim \mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(0,{\lambda }^{-1})$ .

• Če imamo dve slučajni spremenljivki, ki imata eksponentno porazdelitev $X_1\sim \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}({\lambda }_1)$ in $X_2\sim \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}({\lambda }_2)$ in je $X_2$ neodvisna od $X_1$, potem ima slučajna spremenljivka ${\lambda }_1{X}_1-\lambda$ Laplaceovo porazdelitev ${\lambda }_1{X}_1-{\lambda }_2{X}_2\sim \mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(0,1)$.

• Če ima slučajna spremenljivka $V$ eksponentno porazdelitev $V\sim \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(1)$ in ima od $V$ neodvisna slučajna spremenljivka $Z$ normalno porazdelitev $Z\sim \mathrm{N}(0,1)$, potem ima slučajna spremenljivka $X=\mu +b\sqrt{2V}Z$ Lapleceovo porazdelitev $X\sim \mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(\mu ,b)$.

• Splošna Gaussova porazdelitev (1. oblike) je enaka Laplaceovi porazdelitvi, če njen parameter oblike postavimo na 1. Parameter merila $\alpha$ je potem enak $b$.

Zunanje povezave

• Laplaceova porazdelitev na MathWorld Predloga:Ikona en
• Opis Lapleceove porazdelitve na Xycoon Predloga:Ikona en

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev