Karakteristični polinom (linearna algebra)

Karakteristični polinom je polinom (mnogočlenik), ki ga lahko povezujemo s kvadratnimi matrikami. Ta polinom določa mnoge pomembne značilnosti matrik (npr. lastne vrednosti, determinante in sledi matrike).

Karakteristični polinom grafa je karakteristični polinom matrike sosednosti.

Definicija

Dano imamo kvadratno matriko $A$ in zanjo želimo najti polinom, katerega rešitve so lastne vrednosti matrike $A$.

Za matriko $A$ velja

$A𝐯=\lambda 𝐯,$

To lahko napišemo kot

$(\lambda I-A)𝐯=0$

kjer je

• $𝐯\ne 0$ lastni vektor
• $I$ enotska matrika
• $\lambda$ je skalar

Matrika $\lambda I-A$ je singularna (neobrnljiva), kar pomeni, da je njena determinanta enaka 0.

To tudi pomeni da so $\det (\lambda I-A)$ lastne vrednosti matrike $A$ oziroma, da je determinanta polinom za $\lambda$.

Karakteristični polinom nad obsegom $K$ za matriko $n\times n$ označimo s $p_A(t)$. Določen je kot

$p_A(t)=\det (tI-A)$

kjer je

• $I$ enotska matrika $n\times n$
• determinanta se vzame v kolobarju $K(t)$, to je kolobar polinomov za t nad kolobarjem $K$.

Zgled

Določimo karakteristični polinom za matriko

$A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 0\end{array}\right].$

Najprej moramo določiti determinanto matrike

$tI-A=\left[\begin{array}{cc}t-2& -1\\ 1& t\end{array}\right]$

Determinanta je enaka karakterističnemu polinomu, ki je v tem primeru

$(t-2)t-1(-1)=t^2-2t+1.$.

Karakteristična enačba

Karakteristična enačba kvadratne matrike je enačba za spremenljivko $\lambda$

$\det (A-\lambda I)=0$.

Rešitve karakteristične enačbe so lastne vrednosti matrike.

Zgled: Imamo matriko

$P=\left[\begin{array}{cc}19& 3\\ -2& 26\end{array}\right]$.

Karakteristična enačba je

$\begin{array}{cc}0& =\det (P-\lambda I)\\ & =\det \left[\begin{array}{cc}19-\lambda & 3\\ -2& 26-\lambda \end{array}\right]\\ & =500-45\lambda +{\lambda }^2\\ & =(25-\lambda )(20-\lambda ).\end{array}$.

Iz tega sledi, da sta lastni vrednosti enaki 20 in 25.

Karakteristični polinom zmnožka dveh matrik

Če za matriki $A$ (z razsežnostjo $m\times n$) in $B$ (z razsežnostjo $n\times m$) velja, da je $m<n$ in ima matrika $AB$ razsežnost $m\times m$ ter matrika $BA$ razsežnost $n\times n$, potem sta karakteristična polinoma obeh zmnožkov matrik enaka:

$p_{AB}(t)=p_{BA}(t).$.

Cayley-Hamiltonov izrek

Cayley-Hamiltonov izrek pravi, da vsaka kvadratna matrika nad komutativnim kolobarjem zadošča karakterističnemu polinomu. Torej, če je

$p(\lambda )=\det (\lambda I_n-A)$

potem velja

$p(A)=0.$.

To pomeni, da takrat, ko v karakteristični polinom namesto $\lambda$ vstavimo matriko $A$, dobimo ničelno matriko (pri tem seveda potenciramo matriko, kjer je potrebno). Vsaka matrika zadošča svojemu lastnemu karakterističnemu polinomu.

Nekatere značilnosti

• polinom $p_A(\lambda )$ ima vodilni koeficient enak 1, njegova stopnja pa je $n$
• dve podobni matriki imata enaka karakteristična polinoma. Obratno pa ne velja:če imata dve matriki enaka karakteristična polinoma, nista nujno tudi podobni.
• matrika $A$ in njena transponirana matrika imata enak karakteristični polinom.

Zunanje povezave

• Karakteristični polinom na MathWorld Predloga:Ikona en
• Karakteristični polinom Predloga:Webarchive Predloga:Ikona en
• Karakteristični polinom Predloga:Webarchive na PlanethMath Predloga:Ikona en