Linearna transformacija

Predloga:Zapomen Predloga:Funkcije Línearna transformácija (tudi línearni operátor) je značilna vrsta preslikave iz linearne algebre. Pomeni homomorfizem vektorskih prostorov.

Naj bosta $V$ in $U$ vektorska prostora nad obsegom $O$. Preslikava $A:V\to U$ je linearna transformacija, če za vsak $x$ in $y$ iz $V$ ter za vsak $\alpha$ iz $O$ velja:

• aditivnost: $A(x+y)=Ax+Ay$
• homogenost: $A(\alpha x)=\alpha Ax$

Linearna preslikava ohranja linearne kombinacije, zato se lahko zgornji lastnosti zapiše tudi kot

$A({\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2+\cdots +{\alpha }_n{x}_n)={\alpha }_{1}A{x}_1+{\alpha }_{2}A{x}_2+\cdots +{\alpha }_{n}A{x}_n$

Jedro in slika

Jedro in sliko linearne transformacije $A:V\to U$ definiramo analogno kot pri homomorfizmih grup:

$\ker (A)=\{x\in V:Ax=0\}$

$\mathrm{im}(A)=\{Ax:x\in V\}$

Množica $\ker (A)$ je podprostor prostora $V$, $\mathrm{im}(A)$ pa podprostor prostora $U$.

Če $V=U$, pravimo, da je $A$ endomorfizem. Množica $\mathrm{End}(V)$ vseh endomorfizmov iz $V$ v $V$ tvori asociativno algebro nad $V$ z operacijami adicije, kompozicije in množenja s skalarji.

Vsi bijektivni endomorfizmi (avtomorfizmi) tvorijo grupo $\mathrm{Aut}(V)$ z operacijo kompozicije.