Avtomorfizem
Avtomorfizem (iz grške besede Predloga:Jezik-el2: autos - sam in Predloga:Jezik-el2: morfe - oblika) je izomorfizem iz matematičnega objekta v samega sebe. Na neki način je to simetrija objekta in način preslikave objekta v samega sebe tako, da pri tem ohrani vse značilnosti svoje strukture. Množica vseh avtomorfizmov nekega objekta tvori grupo, ki ima avtomorfizem grupe.
Avtomorfizem grupe
Kadar avtomorfizmi nekega objekta tvorijo množico, potem tvorijo grupo za kompozitum morfizmov. Rečemo, da ima takšna grupa avtomorfizem grupe za objekte .
Avtomorfizem grupe objekta iz kategorije označujemo z ali poenostavljeno .
Zgledi in značilnosti
- V teoriji množic je avtomorfizem množice poljubna permutacija elementov iz množice . Grupa izomorfizmov množice se imenuje tudi simetrična grupa elementov .
- V elementarni aritmetiki se množica celih števil (označujemo jo z ) obravnava kot grupa s seštevanjem, ki ima netrivialni avtomorfizem, ki ga imenujemo negacija. Če pa obravnavamo kolobar ima ta samo trivialni avtomorfizem. V splošnem je negacija avtomorfizem vsake Abelove grupe, ne pa kolobarja ali obsega.
- Avtomorfizem grupe je izomorfizem grupe iz grupe v samega sebe. To je permutacija elementov grupe tako, da ostane struktura nespremenjena.
- V linearni algebri je endomorfizem vektorskega prostora linearna preslikava . Avtomorfizem je obrnljivi linearni operator nad .
- Avtomorfizem obsega je bijektivni homomorfizem kolobarja iz obsega v samega sebe. V primeru racionalnih števil (Q) in [[realno število|realnih števil] (R) ni netrivialnih avtomorfizmov obsegov. Nekaj podobsegov iz R ima netrivialni izomorfizem obsega, ki pa se ne velja za vse elemente R. Pri kompleksnih številih C je enolični netrivialni avtomorfizem, ki vsakemu
R pripiše element v R. To je kompleksna konjugacija.
- V teoriji grafov je avtomorfizem grafa permutacija točk, ki ohranja povezave in nepovezave.
- V topologiji se morfizem med topološkimi prostori imenuje zvezna preslikava. Avtomorfizem topološkega prostora je homoemorfizem prostora v sebe.
- V Riemannovi geometriji je avtomorfizem sebi izometrija. Grupa avtomorfizmov se imenuje izometrijska grupa
- V kategoriji Riemannovih ploskev je avtomorfizem bijektivna biholomorfna preslikava iz ploskve na sebe.
Notranji in zunanji avtomorfizem
V nekaterih kategorijah kot so grupa, kolobarji in Liejeve algebre lahko ločimo avtomorfizme na "notranje" in "zunanje" avtomorfizme.
V primeru grup je notranji avtomorfizem konjugacija elementov grupe. Za vsak element grupe je konjugacija po je operacija , ki je dana z . Lahko se dokaže, da je konjugacija po grupni avtomorfizem. Notranji avtomorfizem tvori normalno podgrupo , ki jo označujemo z .
Vsi ostali avtomorfizmi se imenujejo zunanji avtomorfizmi. Grupa kvocientov (faktorska grupa) se pogosto označuje kot .