Hinčinova konstanta

Hinčinova konstanta je v teoriji števil konstanta, ki kaže da je geometrična sredina delnih količnikov razvoja v verižni ulomek za skoraj vsa realna števila $\xi$ enaka ne glede na vrednost $\xi$.

Za poljubno realno število:

$\xi =[a_0;a_1,a_2,a_3]$

skoraj vedno velja:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\prod _{i=1}^n{a}_i\right)}^{1/n}=K_0,$

kjer je $K_0$ Hinčinova konstanta:

$K_0=\prod _{r=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{1}{r(r+2)})}^{\mathrm{lb}r}=2,685452001065\dots ,$ Predloga:OEIS,

kjer je $\mathrm{lb}r$ dvojiški logaritem.

To značilnost verižnih ulomkov je leta 1933 dokazal Aleksander Jakovljevič Hinčin.

Realna števila, za katere ta značilnost ne velja, so na primer racionalna števila, koreni kvadratnih enačb z racionalnimi koeficienti (vključno s številom zlatega reza Φ) in osnovo naravnih logaritmov e.

Števila, za katere ta značilnost velja, so po vsej verjetnosti π, Euler-Mascheronijeva konstanta γ in Hinčinova konstanta sama. To ni dokazano.

Hinčinovo konstanto je težko računati. Ni znano ali je racionalno, algebrsko iracionalno ali transcendentno število.

Neskončni verižni ulomek Hinčinove konstante je Predloga:OEIS :

$K_0=[2;1,2,5,1,1,2,1,1,3,10,2,1,3,2,24,1,3,2,3,1,1,1,...].$

Razvoj v vrsto

Hinčinovo konstanto se lahko izrazi z racionalno vrsto ζ v obliki:

$\log K_0=\frac{1}{\log 2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2n)-1}{n}\sum _{k=1}^{2n-1}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}$

ali:

$\log K_0=\frac{1}{\log 2}[\sum _{k=3}^N\log \left(\frac{k-1}{k}\right)\log \left(\frac{k+1}{k}\right)+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2n,N)}{n}\sum _{k=1}^{2n-1}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}],$

kjer je $N$ fiksno celo število in $\zeta (s,q)$ Hurwitzeva funkcija ζ. Obe vrsti sta močno konvergentni, saj se $\zeta (n)-1$ za velike $n$ hitro približuje 0. Razvoj se lahko poda tudi s funkcijo dilogaritma:

$\log K_0=\log 2+\frac{1}{\log 2}[{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{-1}{2}\right)+\frac{1}{2}\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{\mathrm{Li}}_2\left(\frac{4}{k^2}\right)].$

Hölderjeva sredina

Hinčinova konstanta je prva v nizu Hölderjevih sredin izrazov verižnih ulomkov. Če je dana poljubna vrsta $\{a_n\}$, je Hölderjeva sredina reda $p$ dana kot:

$K_p=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left[\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k^p\right]}^{1/p}.$

Ko so $\{a_n\}$ členi razvojaa v verižni ulomek, so konstante dane z:

$K_p={[\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}-k^p\mathrm{lb}(1-\frac{1}{(k+1{)}^2})]}^{1/p}.$

To sledi, če se uporabi p-ta sredina v povezavi z Gauss-Kuzminovo porazdelitvijo. Vrednost Hinčinove konstante $K_0$ izhaja iz limite $p\to 0$.

Glej tudi

• Lévyjeva konstanta (Hinčin-Lévyjeva konstanta)
• Hinčinova harmonična sredina

Viri

• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld