Krožna algebrska krivulja

Krožna algebrska krivulja je v geometriji vrsta ravninske krivulje, ki je določena z enačbo $F (x, y) = 0 |,$ kjer je $F$ polinom z realnimi koeficienti in najvišja stopnja $F$ tvori polinome, ki so deljivi z $x^{2} + y^{2}$ . Bolj točno to pomeni, če velja $F = F_{n} + F_{n - 1} + \dots + F_{1} + F_{0}$ , kjer je vsak $F_{i}$ homogen stopnje $i$ . V tem primeru je krivulja $F (x, y) = 0$ krožna samo, če in samo če je $F_{n}$ deljiv z $x^{2} + y^{2}$ .

Če je funkcija določena v homogenih koordinatah z $G (x, y, z) = 0$ , kjer je $G$ homogeni polinom, je krivulja krožna le, če je $G (1, i, 0) = G (1, - i, 0) = 0$ , ali z drugimi besedmi, krivulja je krožna, če vsebuje krožne točke v neskončnosti $(1, i, 0)$ in $1, - i, 0)$ , če se jo obravnava kot krivulja v kompleksni projektivni ravnini.

Večkrožne algebrske krivulje

Algebrska krivulja je p-krožna, če vsebuje točke $(1, i, 0)$ in $(1, - i, 0)$ , ko se jo obravnava kot krivuljo v kompleksni projektivni ravnini. Te točke so singularnosti reda najmanj $p$ . Izraz dvokrožen, trikrožen itd. se dobi kadar je $p = 2, 3, \dots$ . V skladu z zgornjimi opisi je krivulja $F (x, y) = 0$ p-krožna, če je $F_{n - 1}$ deljiv z ${(x^{2} + y^{2})}^{p - 1}$ , kadar je $i < p$ . Kadar je $p = 1$ , to postane enako definiciji krožnosti, kot je zapisana zgoraj. Množica p-krožnih krivulj je invarianta pod evklidskimi preslikavami. Pomembno pa je, da ima p-krožna krivulja stopnjo najmanj $2 p$ .

Množica p-krožnih krivulj stopnje $p + k$ , kjer se $p$ lahko spreminja, $k$ pa je stalno pozitivno celo število, je invarianta za inverzijo. Ko je $k$ enak 1, to pomeni, da je množica premic (0-krožnih krivulj stopnje 1) in množica krožnic (1-krožnih krivulj stopnje 2) invarianta za inverzijo.