Kumulanta

Kumulanta n-tega reda slučajne spremenljivke X je v teoriji verjetnosti in statistiki določena z logaritmom funkcije, s pomočjo katere lahko generiramo momente porazdelitve. n-ti odvod je kumulanta n-tega reda. Kumulante se uporabljajo podobno kot momenti verjetnostne porazdelitve. Obe skupini vrednosti sta si po uporabi ekvivalentni. Je pa uporaba kumulant včasih bolj enostavna kot uporaba momentov. Kumulanto n-tega reda označimo s $\mathit{\kappa }$_n.

Definicija

Funkcija, ki omogoča izračunavanje kumulant, se označuje z g(t):

$g(t)=\log (E(e^{tX}))=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\kappa }_n\frac{t^n}{n!}=\mu t+{\sigma }^2\frac{t^2}{2}+\cdots .$

n-ti odvod funkcije g(t) je kumulanta n-tega razreda ali

$\begin{array}{cc}{\kappa }_1& =\mu =g^{\prime }(0),\\ {\kappa }_2& ={\sigma }^2=g^{″}(0),\\ & ⋮\\ {\kappa }_n& =g^{(n)}(0).\end{array}$

Funkcijo je prvi uvedel danski astronom in matematik Thornwald Nicolai Thiele (1838 -1910).

Lastnosti

Invariantnost na premik:

• ${\kappa }_1(X+c)={\kappa }_1(X)+c$
• ${\kappa }_n(X+c)={\kappa }_n(X)$ za n ≥ 2

kjer je c konstanta

Homogenost:

${\kappa }_n(cX)=c^n\kappa (X)$

Aditivnost:

${\kappa }_n(X+Y)={\kappa }_n(X)+{\kappa }_n(Y)$

Kumulante kot funkcije momentov

Navedenih je nekaj povezav med momenti in kumulantami:

${\kappa }_1=m_1={\mu }_1$

${\kappa }_2=m_2-m_1^2={\mu }_2$

${\kappa }_3=m_3-2m_2{m}_1+2m_1^3={\mu }_3$

${\kappa }_4=m_4-4m_3{m}_1-3m_2^2+12m_2{m}_1^2-6m_1^4={\mu }_4-3{\mu }_2^2$

${\kappa }_5=m_5+5m_1(6m_2^2-m_4)-10m_3{m}_2+20m_3{m}_1^2-60m_2{m}_1^3+24m_1^5={\mu }_5-10{\mu }_2{\mu }_3$

Kumulante nekaterih diskretnih porazdelitev

Izrojena porazdelitev (konstantna slučajna spremenljivka) pri kateri je X = 1. Zanjo velja g '(t) = 1. Prva kumulanta κ₁ = 1, ostale kumulante κ₂, κ₃, … so nič.

Bernoullijeva porazdelitev Če je p = 1, potem velja, da imamo konstantno naključno spremenljivko z X = 1.
Odvod funkcije g(x) je enak g '(t) = ((p ⁻¹−1)•e^−t + 1)⁻¹.

Prvi dve kumulanti sta:

• κ₁ = g '(0) = p in
• κ₂ = g ' '(0) = p•(1 − p) .

Vsako naslednjo kumulanto lahko izračunamo iz obrazca

${\kappa }_{n+1}=p(1-p)\frac{d{\kappa }_n}{dp}.$

Geometrična porazdelitev
Odvod funkcije g(x) je enak g '(t) = ((1 − p)⁻¹•e^−t − 1)⁻¹.

Prvi kumulanti sta

• κ₁ = g '(0) = p⁻¹ − 1,
• κ₂ = g ' '(0) = κ₁•p ^− 1.

Poissonova porazdelitev
Prvi odvod funkcije g(x) je enak g '(t) = μ•et.
Vse kumulante so enake: κ1 = κ2 = κ3 = ...= μ.

Zunanje povezave

• Kumulante na MathWorld Predloga:Ikona en