Lagrangeeva enakost

Lagrangeeva enákost ali Lagrangeeva identitéta [lagránževa ~] je v algebri enakost:

$\left(\sum _{k=1}^n{a}_k^2\right)\left(\sum _{k=1}^n{b}_k^2\right)-(\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k{)}^2=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^n(a_i{b}_j-a_j{b}_i{)}^2(=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(a_i{b}_j-a_j{b}_i{)}^2),$

ki velja za dve poljubni množici {a₁, a₂, . . ., a_n} in {b₁, b₂, . . ., b_n} realnih ali kompleksnih števil (oziroma splošneje, elementov komutativnega kolobarja). Ta enakost je poseben primer Binet-Cauchyjeve enakosti. Za kompleksna števila jo lahko zapišemo tudi v obliki:

$(\sum _{k=1}^n|a_k{|}^2\left)\right(\sum _{k=1}^n|b_k{|}^2)-|\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k{|}^2=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^n|a_i{\bar{b}}_j-a_j{\bar{b}}_i{|}^2,$

kjer uporabimo absolutno vrednost.

Enakost se imenuje po Joseph-Louisu de Lagrangeu.

Ker je desna stran enakosti nenegativna, vsebuje Cauchy-Schwarzevo neenakost v končno razsežnem realnem koordinatnem prostoru ${ℝ}^n$ in njegovem kompleksnem ustrezniku ${ℂ}^n$.

Lagrangeeva enakost in zunanja algebra

Lagrangeevo enakost lahko zapišemo s pomočjo zunanjega produkta:

$(a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b{)}^2=(a\wedge b)\cdot (a\wedge b).$

Nanjo lahko zato gledamo kot na enačbo, ki določa dolžino zunanjega produkta dveh vektorjev, kar je ploščina paralelograma, ki ga oklepata, in z izrazi skalarnega produkta dveh vektorjev:

$\Vert a\wedge b\Vert =\sqrt{(\Vert a\Vert \Vert b\Vert {)}^2-\Vert a\cdot b{\Vert }^2}.$

Lagrangeeva enakost in vektorski račun

Če sta $\overrightarrow{𝐚}$ in $\overrightarrow{𝐛}$ vektorja v ${ℝ}^3$, lahko Lagrangeevo enakost zapišemo z vektorskim in skalarnim produktom:

$|\overrightarrow{𝐚}\times \overrightarrow{𝐛}{|}^2+(\overrightarrow{𝐚}\cdot \overrightarrow{𝐛}{)}^2=|\overrightarrow{𝐚}{|}^2|\overrightarrow{𝐛}{|}^2=(\overrightarrow{𝐚}\cdot \overrightarrow{𝐚})(\overrightarrow{𝐛}\cdot \overrightarrow{𝐛}),$

oziroma:

$\begin{array}{cc}(\overrightarrow{𝐚}\times \overrightarrow{𝐛})\cdot (\overrightarrow{𝐚}\times \overrightarrow{𝐛})& =(\overrightarrow{𝐚}\cdot \overrightarrow{𝐚})(\overrightarrow{𝐛}\cdot \overrightarrow{𝐛})-(\overrightarrow{𝐚}\cdot \overrightarrow{𝐛}{)}^2\\ & =(\overrightarrow{𝐚}\times \overrightarrow{𝐛}\cdot \overrightarrow{𝐛})\cdot \overrightarrow{𝐚}-(\overrightarrow{𝐚}\times \overrightarrow{𝐛}\cdot \overrightarrow{𝐚})\cdot \overrightarrow{𝐛}\\ & =(\overrightarrow{𝐚}\times \overrightarrow{𝐚}\cdot \overrightarrow{𝐛})\cdot \overrightarrow{𝐛}-(\overrightarrow{𝐛}\times \overrightarrow{𝐚}\cdot \overrightarrow{𝐛})\cdot \overrightarrow{𝐚}\\ & =\left|\begin{array}{cc}\overrightarrow{𝐚}\overrightarrow{𝐚}& \overrightarrow{𝐚}\overrightarrow{𝐛}\\ \overrightarrow{𝐛}\overrightarrow{𝐚}& \overrightarrow{𝐛}\overrightarrow{𝐛}\end{array}\right|.\end{array}$

To je poseben primer multiplikativnosti norme v kvaternionski algebri:

$|vw|=|v||w|,$

oziroma bolj splošno:

$\begin{array}{cc}(\overrightarrow{𝐯}\times \overrightarrow{𝐰})\cdot (\overrightarrow{𝐚}\times \overrightarrow{𝐛})& =(\overrightarrow{𝐯}\cdot \overrightarrow{𝐚})(\overrightarrow{𝐰}\cdot \overrightarrow{𝐛})-(\overrightarrow{𝐯}\cdot \overrightarrow{𝐛})(\overrightarrow{𝐰}\cdot \overrightarrow{𝐚})\\ & =(\overrightarrow{𝐯}\times \overrightarrow{𝐰}\cdot \overrightarrow{𝐛})\cdot \overrightarrow{𝐚}-(\overrightarrow{𝐯}\times \overrightarrow{𝐰}\cdot \overrightarrow{𝐚})\cdot \overrightarrow{𝐛}\\ & =(\overrightarrow{𝐯}\times \overrightarrow{𝐚}\cdot \overrightarrow{𝐛})\cdot \overrightarrow{𝐰}-(\overrightarrow{𝐰}\times \overrightarrow{𝐚}\cdot \overrightarrow{𝐛})\cdot \overrightarrow{𝐯}\\ & =\left|\begin{array}{cc}\overrightarrow{𝐯}\overrightarrow{𝐚}& \overrightarrow{𝐯}\overrightarrow{𝐛}\\ \overrightarrow{𝐰}\overrightarrow{𝐚}& \overrightarrow{𝐰}\overrightarrow{𝐛}\end{array}\right|.\end{array}$

Lagrangeeva enakost in infinitezimalni račun

V Sturm-Liouvilleovi teoriji lahko Lagrangeevo enakost zapišemo kot:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}(Lu)v-u(Lv)dx=-p(u^{\prime }v-u{v}^{\prime }){|}_0^1$ 

kjer so $p=P(x)$, $q=Q(x)$, $u=U(x)$ in $v=V(x)$ funkcije $x$. $u$ in $v$ imata zvezni drugi odvod na intervalu $[0,1]$. $L$ je Sturm-Liouvilleov diferencialni operator, določen kot:

$Lu=-(p{u}^{\prime }{)}^{\prime }+qu.$

Glej tudi

• Brahmaguptova enakost