Lagrangeevo število

Lagrangeeva števila so v matematiki zaporedja števil, ki se pojavljajo v mejah pri aproksimaciji iracionalnih števil z racionalnimi števili. Z njimi je povezan Hurwitzev izrek.

Definicija

Hurwitz je izboljšal Dirichletov kriterij iracionalnosti v izjavo, da je realno število $\alpha$ iracionalno če in samo če obstaja neskončno mnogo takšnih racionalnih števil $p/q$, zapisanih okrajšano, da velja:

$|\alpha -\frac{p}{q}|<\frac{1}{\sqrt{5}{q}^2}.$

To je izboljšava Dirichletovega rezultata, ki je imel na desni strani člen $1/q^2$. Hurwitzeva vrednost je najboljša možna, ker je število zlatega reza $\mathrm{\Phi }$ iracionalno, vendar, če se v zgornjem izrazu √5 zamenja s poljubnim večjim številom, bo moč najti le končno mnogo racionalnih števil, za katere velja neenakost za $\alpha =\mathrm{\Phi }$.

Hurwitz je pokazal tudi, da če se $\mathrm{\Phi }$ ne upošteva, in se iz njega izpeljejo števila, se lahko poveča število √5. Pokazal je, da se ga lahko nadomesti s številom 2√2. Spet je sedaj ta meja najboljša možna v novem primeru, vendar je sedaj problem število √2. Če število √2 ni dovoljeno, se lahko na desni strani neenakosti poviša s števila 2√2 na (√221)/5. Ta ponavljajoči proces da neskončno zaporedje števil, ki konvergirajo k 3. Ta števila se imenujejo Lagrangeeva števila po Josephu Louisu Lagrangeu. Prva Lagrangeeva števila so:

$\sqrt{5}=2,236067977499789696409173668731276235440618\dots ,$ Predloga:OEIS,

$2\sqrt{2}=\sqrt{8}=2,828427124746190097603377448419396157139343\dots ,$ Predloga:OEIS,

$\frac{\sqrt{221}}{\sqrt{5}}=2,973213749463701104522401642786279330289797\dots ,$ Predloga:OEIS,

$\frac{\sqrt{1517}}{\sqrt{13}}=2,996052629869299469234139402626318639758302\dots .$

Povezava s števili Markova

n-to Lagrangeevo število $L_n$ je dano z:

$L_n=\sqrt{9-\frac{4}{{m_n}^2}},$

kjer je $m_n$ n-to število Markova,, to je takšno n-to najmanjše število m, da ima kvadratna enačba Markova:

$m^2+x^2+y^2=3mxy$

rešitev v pozitivnih celih številih $x$ in $y$.

Glej tudi

• Freimanova konstanta
• spekter Markova

Viri

• Predloga:Citat
• Predloga:Citat

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld
• Predloga:Citat - spletni zapiski predavanj