Logaritemska porazdelitev

Logaritemska porazdelitev
Plot of the logarithmic PMF Plot of the logarithmic PMF Funkcija je določena samo za cela števila. Povezave med posameznimi točkami je narisana samo zaradi lažje predstave o poteku funkcije.
Zbirna funcija za logarimično porazdelitev. Zbirna funcija za logarimično porazdelitev.
oznaka	$Log(p)$
parametri	$0<p<1$
interval	$k\in \{1,2,3,\dots \}$
funkcija verjetnosti (pdf)	$\frac{-1}{\ln (1-p)}\frac{p^k}{k}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$1+\frac{\mathrm{B}(p;k+1,0)}{\ln (1-p)}$
pričakovana vrednost	$\frac{-1}{\ln (1-p)}\frac{p}{1-p}$
mediana
modus	$1$
varianca	$-p\frac{p+\ln (1-p)}{(1-p{)}^2{\ln }^2(1-p)}$
simetrija	zelo komplicirana funkcija
sploščenost	zelo komplicirana funkcija
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)	$\frac{\ln (1-p\exp (t))}{\ln (1-p)}$
karakteristična funkcija	$\frac{\ln (1-p\exp (it))}{\ln (1-p)}$

Logaritemska porazdelitev je diskretna porazdelitev (nezvezna), ki jo lahko izpeljemo iz Taylorjeve vrste:

$-\ln (1-p)=p+\frac{p^2}{2}+\frac{p^3}{3}+\cdots .$.

Iz tega se dobi

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{-1}{\ln (1-p)}\frac{p^k}{k}=1.$

kar vodi do logaritemske porazdelitve

$f(k)=\frac{-1}{\ln (1-p)}\frac{p^k}{k}$

Uporaba

Logaritemska porazdelitev se uporablja na različnih področjih (zavarovalništvo, fizika, genetika itd). Nekaj primerov :

• število živali ali rastlin na določenem področju
• število nakupov v določenem obdobju
• število parazitov na gostitelju

itd.

Lastnosti

Funkcija verjetnosti

Funkcija verjetnosti za logaritemsko porazdelitev je:

$\frac{-1}{\ln (1-p)}\frac{p^k}{k}$

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti logaritemske porazdelitve je

$1+\frac{\mathrm{B}(p;k+1,0)}{\ln (1-p)}$

kjer je

• $\mathrm{B}(p;k+1,0)$ nepopolna funkcija beta.

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$\frac{-1}{\ln (1-p)}\frac{p}{1-p}$.

Varianca

Varianca je enaka

$-p\frac{p+\ln (1-p)}{(1-p{)}^2{\ln }^2(1-p)}$.

Povezave z drugimi porazdelitvami

Negativna binomska porazdelitev

Skupina logaritemsko porazdeljenih slučajnih spremenljivk ima negativno binomsko porazdelitev. To pomeni: če je N slučajna spremenljivka s Poissonovo porazdelitvijo in X_i pomeni neskončno zaporedje neodvisnih enako porazdeljenih slučajnih spremenljivk, ki imajo logaritemsko porazdelitev, potem ima

$\sum _{n=1}^N{X}_i$

negativno binomsko porazdelitev.

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev