Ortonormalnost

Ortonormalnost je v linearni algebri odnos med dvema enotskima vektorjema (njuna dolžina je 1), ki sta med seboj pravokotna ˙(ortogonalna). Skupina vektorjev tvori ortonormalno skupino vektorjev, če so vsi ortogonalni in imajo dolžino 1. Ortonormalna skupina vektorjev tvori bazo, ki jo imenujemo ortonormalna baza.

Definicija

Z $𝒱$ označimo prostor notranjega produkta. Množica vektorjev

{u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}, \dots} \in 𝒱

je ortogonalna, če in samo, če velja

\forall i, j : ⟨ u_{i}, u_{j} ⟩ = δ_{i j}

kjer je

| | a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + \dots + a_{n} e_{n} | |^{2} = | a_{1} |^{2} + | a_{2} |^{2} + \dots + | a_{n} |^{2}

Vektorja v katezičnem koordinatnem sistemu naj bosta $u = (x_{1}, y_{1})$ in $u = (y_{2}, y_{2})$ . Vektorja sta ortonormalna, če zanju velja:

To lahko zapišemo kot

Kar pomeni, da je $r_{1} = r_{2} = 1$ . Torej je dolžina vektorjev enaka 1, ležita pa na enotski krožnici. V ravnini sta ortonormalna vektorja polmera enotske krožnice in tvorita pravi kot. Podobno velja za trirazsežni prostor. Metoda ortogonalizacije množice vektorjev v prostoru notranjih produktov se imenuje Gram-Schmidtov proces. Običajno se to izvaja v evklidskem prostoru $R^{n}$ z uporabo linearno neodvisnih vektorjev.

Standardna baza v koordinatnem prostoru $F^{n}$ je $e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}$ kjer je

.

Katerakoli dva vektorja $e_{i}$ in $e_{j}$ , ki imata $i \neq j$ sta ortogonalna. Vsi vektorji imajo tudi dolžino 1.