Superelipsa

Superelipsa z n = 1/2, a = b = 1

Superelipsa z n = 3/2, a = b = 1

Krožno zaobljeni kvadrat je superelipsa z n = 4, a = b = 1

Superelipsa (tudi Laméjeva krivulja) je ravninska družina krivulj, ki imajo v kartezičnem koordinatnem sistemu enačbo:

${\left|\frac{x}{a}\right|}^n+{\left|\frac{y}{b}\right|}^n=1,$

kjer so:

• $n,a,b$ pozitivna števila

Zgornji obrazec določa zaprto krivuljo v pravokotniku v mejah $-a\le x\le +a$ in $-b\le x\le +b$. Parametra $a$ in $b$ se imenujeta polosi krivulje.

V parametrična oblika je:

$x={\cos }^{2/m}t$

$y={\sin }^{2/m}t,$

kjer je $r>2$.

Oblika krivulje je odvisna od parametra $n$:

• če je $n$ med 0 in 1, superelipsa izgleda kot štirikraka zvezda, ki ima vbočene stranice.
• če je $n=1/2$ so stranice parabole
• če je $n=1$ ima superelipsa obliko romba z oglišči v točkah (±a, 0) in (0, ±b)
• če je $n$ med 1 in 2 izgleda kot romb, ki ima izbočene stranice
• če je $n=2$ je krivulja običajna elipsa oziroma krožnica, če je $a=b$
• če je $n>2$ izgleda kot pravokotnik z zaobljenimi vogali
• če je $n<2$ krivuljo imenujemo hipoelipsa
• če je $n>2$ krivuljo imenujemo hiperelipsa
• točke ekstrema so v točkah $(\pm a,0$ in $(0,\pm b$).

Animacija (klikni na sliko)

Posplošitve

Zgled posplošene superelipse z m ≠ n.

Superelipso lahko opišemo s splošno obliko:

${\left|\frac{x}{a}\right|}^m+{\left|\frac{y}{b}\right|}^n=1;m,n>0.$

ali z:

$\begin{array}{cc}x\left(\theta \right)& ={|\cos \theta |}^{\frac{2}{m}}\cdot a\mathrm{sgn}(\cos \theta )\\ y\left(\theta \right)& ={|\sin \theta |}^{\frac{2}{n}}\cdot b\mathrm{sgn}(\sin \theta ).\end{array}.$

Povezave z drugimi krivuljami

• astroida je superelipsa z $n=2/3$ in $a=b$
• astroida je hipocikloida s štirimi vrhovi
  • deltoida je hipocikloida s tremi vrhovi
• krožno zaobljeni kvadrat (štiristrano kolo) je superelipsa z $n=4$
  • Reulauxov trikotnik (tristrano kolo)
• superoblika je posplošitev superelipse
• superkvadrik je trirazsežna oblika superelipse.

Ploščina omejena s superelipso

Ploščina, ki jo omejuje superelipsa, je:

$\mathrm{P}=4ab\frac{{\left(\mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{n})\right)}^2}{\mathrm{\Gamma }(1+\frac{2}{n})},$

kjer je:

• $\mathrm{\Gamma }(x)$ funkcija gama.

Zgodovina

Superelipso je prvi opisal francoski matematik Gabriel Lamé (1795 – 1870).

Glej tudi

• Laméjeva ploskev

Zunanje povezave

• Kalkulator za risanje superelips Predloga:Ikona en
• Superelipsa na 2dcurves.com Predloga:Ikona en
• Kalkulator za superelipse Predloga:Ikona en
• Superelipsa na MacTutor Predloga:Ikona en
• Superelipsa v Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables Predloga:Ikona fr