Schmidtova razstavitev

Schmidtova razstavítev ali Schmidtova dekompozícija [šmítova ~] je v linearni algebri poseben način izražanja in predstavitve vektorja v tenzorskem produktu dveh prehilbertovih prostorov. Ima mnoge aplikacije v kvantni teoriji informacij, na primer pri karakterizaciji prepletenosti in čiščenju kvantnega stanja, kvantnem računalništvu, kvantnem radiranju, fiziki črnih lukenj ter plastičnosti.Predloga:R Imenuje se po nemškem matematiku Erhardu Oswaldu Johannesu Schmidtu, ki jo je uvedel.Predloga:RPredloga:RPredloga:R

Izrek

Naj sta $H_1$ in $H_2$ Hilbertova prostora z razsežnostima $n$ in $m$. Naj je $n\ge m$. Za poljubni vektor $w$ v tenzorskem produktu $H_1\otimes H_2$ obstajata takšni ortonormalni množici $\{u_1,\dots ,u_m\}\subset H_1$ in $\{v_1,\dots ,v_m\}\subset H_2$, da velja $w={\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i{u}_i\otimes v_i$, kjer so skalarji ${\alpha }_i$ realni, nenegativni in edinstveni do ponovne razvrstitve.

Dokaz

Schmidtova razstavitev je v bistvu ponovna izjava razstavitve na enojno vrednost v drugačnem kontekstu. Naj sta fiksni ortonormalni bazi $\{e_1,\dots ,e_n\}\subset H_1$ in $\{f_1,\dots ,f_m\}\subset H_2$. Identificira se lahko elementarni tenzor $e_i\otimes f_j$ z matriko $e_i{f}_j^{𝖳}$, kjer je $f_j^{𝖳}$ transponiranka $f_j$. Na splošni element tenzorskega produkta:

$w=\sum _{1\le i\le n,1\le j\le m}{\beta }_{ij}{e}_i\otimes f_j$

se potem lahko gleda kot na matriko $n\times m$:

$M_w=({\beta }_{ij}).$

Po razstavitvi na enojno vrednost obstajajo takšna $n\times n$ unitarna matrika $U$, $m\times m$ unitarna matrika $V$ in pozitivno semidefinitna $m\times m$ diagonalna matrika $\mathrm{\Sigma }$, da velja:

$M_w=U\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Sigma }\\ 0\end{array}\right]V^{*}.$

Če se zapiše $U=\left[\begin{array}{cc}{U}_1& U_2\end{array}\right]$, kjer ima $U_1$ razsežnost $n\times m$, izhaja:

$M_w=U_1\mathrm{\Sigma }{V}^{*}.$

Naj so $\{u_1,\dots ,u_m\}$ $m$ stolpčni vektorji $U_1$, $\{v_1,\dots ,v_m\}$ stolpčni vektorji $\bar{V}$ in ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$ diagonalni elementi matrike $\mathrm{\Sigma }$. Prejšnji izraz je tako:

$M_w=\sum _{k=1}^m{\alpha }_k{u}_k{v}_k^{𝖳}.$

Potem je:

$w=\sum _{k=1}^m{\alpha }_k{u}_k\otimes v_k,$

kaj dokazuje trditev. ■

Nekatera opažanja

Nekatere značilnosti Schmidtove razstavitve so fizikalno zanimive.

Spekter zmanjšanih stanj

Obravnava se vektor $w$ tenzorskega produkta:

$H_1\otimes H_2$

v obliki Schmidtove razstavitve:

$w=\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{u}_i\otimes v_i.$

Tvori se matrika $\rho =w{w}^{*}$ z rangom 1. Potem je delna sled matrike $\rho$ glede na sistem $A$ ali $B$ diagonalna matrika, katere neničelni diagonalni elementi so $|{\alpha }_i{|}^2$. Z drugimi besedami, Schmidtova razstavitev kaže, da imajo zmanjšana stanja $\rho$ na obeh podsistemih enak spekter.

Schmidtov rang in prepletenost

Strogo pozitivne vrednosti ${\alpha }_i$ v Schmidtovi razstavitvi $w$ so njeni Schmidtovi koeficienti, Schmidtovi parametri prepletenosti ali Schmidtova števila $K$ in so naravne značilnosti stopnje prepletenosti, definirane kot:Predloga:R

$K={\left(\sum _i{\alpha }_i^2\right)}^{-1}⩾1.$

Skupno število Schmidtovih koeficientov $w$, šteto z mnogokratnostjo, se imenuje njegov Schmidtov rang.

Če se lahko $w$ izrazi kot tenzorski produkt:

$u\otimes v,$

potem se $w$ imenuje ločljivo stanje. Drugače je $w$ v prepletenem stanju. Iz Schmidtove razstavitve se lahko vidi, da je $w$ prepleten, če in samo če ima $w$ Schmidtov rang strogo večji od 1. Zato sta dva podsistema, ki delita čisto stanje, prepletena, če in samo če sta njuni zmanjšani stanji mešani stanji. Iz Schmidtovih koeficientov čistega stanja $w$ je mogoče določiti vse njegove značilnosti plepletenosti.Predloga:R Tudi obnašanje $w$ pod krajevnimi kvantnimi operacijami določajo Schmidtovi koeficienti, še posebej, ali je mogoče dve stanji krajevno transformirati eno v drugo.Predloga:R

Von Neumannova entropija

Posledica zgornjih komentarjev je, da je za čista stanja von Neumannova entropija zmanjšanih stanj dobro definirana mera prepletenosti.Predloga:R Za von Neumannovo entropijo obeh zmanjšanih stanj $\rho$ je $-\sum _i|{\alpha }_i{|}^2\log (|{\alpha }_i{|}^2)$ in to je enako nič, če in samo če je $\rho$ produktno stanje (neprepleteno).

Vektor Schmidtovega ranga

Schmidtov rang je definiran za dvodelne sisteme, namreč za kvantna stanja:

$|\psi ⟩\in H_A\otimes H_B.$

Koncept Schmidtovega ranga se lahko razširi na kvantne sisteme, sestavljene iz več kot dveh podsistemov.Predloga:R

Če se pogleda tridelni kvantni sistem:

$|\psi ⟩\in H_A\otimes H_B\otimes H_C.$

Obstajajo trije načini za zmanjšanje sistema na dvodelni sistem z delno sledjo glede na $H_A,H_B$ ali $H_C$:

$\{\begin{array}{c}{\hat{\rho }}_A={\mathrm{Tr}}_A(|\psi ⟩⟨\psi |)\\ {\hat{\rho }}_B={\mathrm{Tr}}_B(|\psi ⟩⟨\psi |)\\ {\hat{\rho }}_C={\mathrm{Tr}}_C(|\psi ⟩⟨\psi |).\end{array}$

Vsak od dobljenih sistemov je dvodelni sistem in ga je zato mogoče označiti z enim številom (njegovim Schmidtovim rangom) $r_A,r_B$ in $r_C$. Ta števila zajemajo »količino prepletenosti« v dvodelnem sistemu, ko se zavržejo $A,B$ ali $C$. Zaradi teh razlogov se lahko tridelni sistem opiše z vektorjem, in sicer z vektorjem Schmidtovega ranga:

$\overrightarrow{𝐫}=(r_A,r_B,r_C).$

Mnogodelni sistemi

Koncept vektorja Schmidtovega ranga se lahko podobno razširi na sisteme, sestavljene iz več kot treh podsistemov, z uporabo tenzorjev.

ZgledPredloga:R

Naj se vzame tridelno kvantno stanje $|{\psi }_{4,2,2}⟩=\frac{1}{2}(|0,0,0⟩+|1,0,1⟩+|2,1,0⟩+|3,1,1⟩)$.

Takšna vrsta sistema je mogoča s kodiranjem vrednosti kudita v tirno vrtilno količino(OAM) fotona namesto v njegov spin, saj lahko slednji sprejme le dve vrednosti.

Vektor Schmidtovega ranga za to kvantno stanje je $(4,2,2)$.

Glej tudi

• Predloga:Medjezikovna povezava
• Predloga:Medjezikovna povezava

Viri

• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat

• angleški prevod Predloga:Citat

• Predloga:Citat
• Predloga:Citat

Nadaljnje branje

• Predloga:Citat

Zunanje povezave

• Predloga:Citat