Ortogonalnost

Odseka AB in CD sta pravokotna drug na drugega.

Ortogonálnost je v matematiki drugo ime za pravokotnost. Pogosto se izraza ortogonalnost ne more samo zamenjati z izrazom pravokotnost. Ortogonalnost je posplošitev pojma pravokotnosti. Ortogonalnost se lahko uporabi tudi v mnogorazsežnih prostorih.

Beseda izhaja iz dveh starogrških besed Predloga:Jezik-el (ortos - pravilen) in Predloga:Jezik-el (goni - pravokoten). Včasih se za isti pojem uporablja tudi izraz normalnost (iz latinske besede norma (normal), ki pomeni merilo oziroma pravi kot. Pogosto se izraz normalnost povezuje z enotskimi vektorji. Izraz pravokotnost izhaja iz uporabe svinčnice s pomočjo katere so včasih določali pravokotnost na površino Zemlje.

Pojem ortogonalnost se uporablja na mnogih področjih matematike. V nadaljevanju je naštetih nekaj primerov:

• ortogonalna grupa
• ortogonalni sistem in ortonormirani sistem
• ortogonalna matrika
• ortogonalna projekcija
• ortogonalna preslikava
• ortogonalne koordinate
• ortogonalni polinomi
• ortogonalna baza

Iz naštetih primerov se vidi, da se izraz ortogonalnost ne more vedno zamenjati z izrazom pravokotnost.

V linearni algebri je ortogonalnost povezana s skalarnim produktom.

Definicije

• Dva vektorja sta v prehilbertovem prostoru ortogonalna, če je njun notranji produkt $⟨x,y⟩$ enak 0. To se označuje z $x\perp y$.

• Dva linearna podprostora $A$ in $B$ v prehilbertovem prostoru $V$, sta ortogonalna podprostora, če je vsak vektor v $A$ pravokoten na vsak vektor v $B$

• Linearna transformacija $T:V\to V$ se imenuje ortogonalna linearna transformacija, če ohranja skalarni produkt. To pomeni, da transformacija $T$ ohranja kot med $x$ in $y$.

Ortogonalne funkcije

Za notranji produkt dveh funkcij:

$⟨f,g{⟩}_w=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)w(x)\mathrm{d}x,$

kjer je:

• $⟨\dots ⟩$ notranji produkt
• $w(x)$ utežna funkcija

Ti dve funkciji sta ortogonalni, če je njun notranji produkt enak 0:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)w(x)\mathrm{d}x=0.$

Normo se lahko glede na notranji produkt in utežno funkcijo zapiše kot:

$\Vert f{\Vert }_w=\sqrt{⟨f,f{⟩}_w}.$

Člani zaporedja $f_j:j=1,2,3,\dots$ so:

• ortogonalni na intervalu $[a,b]$, če velja:

$⟨f_i,f_j⟩=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_i(x)f_j(x)w(x)\mathrm{d}x=\Vert f_i{\Vert }^2{\delta }_{i,j}=\Vert f_j{\Vert }^2{\delta }_{i,j}$

• ortonormalni na intervalu $[a,b]$, če velja:

$⟨f_i,f_j⟩=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_i(x)f_j(x)w(x)\mathrm{d}x={\delta }_{i,j},$

kjer je:

• ${\delta }_{ij}$ Kroneckerjeva delta.

Ortogonalni polinomi

Nekatera zaporedja polinomov tvorijo zaporedje ortogonalnih polinomov. Takšni polinomi so:

• Hermitovi polinomi, ki so ortogonalni glede na normalno porazdelitev, ki ima pričakovano vrednost 0.
• Legendrovi polinomi, ki so ortogonalni glede na zvezno enakomerno porazdelitev na intervalu od -1 do +1.
• Laquerrovi polinomi, ki so ortogonalni glede na eksponentno porazdelitev. Bolj splošni Laquerrovi polinomi pa so ortogonalni glede na porazdelitev gama
• polinomi Čebišova prve vrste so ortogonalni glede na mero $1/\sqrt{1-x^2}.$
• polinomi Čebiševa druge vrste so ortogonalni glede na Wignerjevo polkrožno porazdelitev

Glej tudi

• ortonormiranost

Zunanje povezave

• Priročnik za ortogonalnost Predloga:Webarchive Predloga:Ikona en
• Kompaktnost in ortogonalnost Predloga:Webarchive Predloga:Ikona en