Eksponent matrike

Eksponent matrike je matrična funkcija, ki se izvaja nad kvadratnimi matrikami. Funkcija je podobna kot običajna naravna eksponentna funkcija. Če je $X$ realna ali kompleksna matrika z razsežnostjo $n\times n$, potem njeno naravno eksponentno matriko označujemo z $e^X$ ali $\exp (X)$ in je enaka

$e^{𝐗}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}{𝐗}^k$.

Lastnosti

Če sta $X$ in $Y$ kompleksni matriki z razsežnostjo $n\times n$ in sta $a$ in $b$ poljubni kompleksni števili, potem ima vrednost eksponenta matrike, naslednje lastnosti ($I$ je enotska matrika):

• e⁰ = I.
• e^aX e^bX = e^{(a + b)X}.
• e^Xe^−X = I.
• če je XY = YX potem je e^Xe^Y = e^Ye^X = e^(X + Y).
• Če je Y obrnljiva potem je e^YXY−1 = Y e^XY⁻¹.
• exp(X^T) = (exp X)^T, kjer X^T pomeni transponirana matrika matrike X. Iz tega sledi, da je takrat, ko je X simetrična tudi e^X simetrična in, če je X poševnosimetrična potem je e^X ortogonalna.
• exp(X*) = (exp X)*, kjer pa X* pomeni konjugirano transponirano matriko matrike X. Iz tega sledi, da je takrat, ko je X Hermitska matrika tudi e^X Hermitska matrika in, če je X poševnohermitska matrika (antihermitska), potem je e^X unitarna matrika.

Določanje vrednosti matričnih eksponentov

V nadaljevanju je podanih nekaj načinov določanja vrednosti eksponentov matrik:

Diagonalna matrika

Kadar je matrika diagonalna

$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& 0& \dots & 0\\ 0& a_2& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & a_n\end{array}\right],$ izračunamo vrednost njenega eksponenta tako, da izračunamo eksponent vsakega elementa na glavni diagonali

$e^A=\left[\begin{array}{cccc}{e}^{a_1}& 0& \dots & 0\\ 0& e^{a_2}& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & e^{a_n}\end{array}\right].$

To omogoča , da določimo vrednost eksponenta diagonalizabilne matrike. Kadar je matrika $A$ takšna, da velja $A=UD{U}^{-1}$ in je $D$ diagonalna matrika, potem velja $e^A=U{e}^{D}U{e}^{-1}$.

Nilpotentnost

Matrika $N$ je nilpotentna, če velja $N^q=0$ za poljubno celo število $q$. V tem primeru lahko izračunamo eksponent matrike neposredno iz razvoja v vrsto, ker se vrsta konča po končnem številu členov

$e^N=I+N+\frac{1}{2}{N}^2+\frac{1}{6}{N}^3+\cdots +\frac{1}{(q-1)!}{N}^{q-1}.$.

Uporaba

V linearnih diferencialnih enačbah

Eksponent matrike lahko uporabljamo v sistemih linearnih diferencialnih enačb. Običajna oblika linearne diferencialne enačbe

${𝐲}^{\prime }=C𝐲$

ima rešitev e^Cty(0).

Če vzamemo vektor

$𝐲(t)=\left[\begin{array}{c}{y}_1(t)\\ ⋮\\ y_n(t)\end{array}\right]$

potem lahko napišemo linearno diferencialno enačbo kot

${𝐲}^{\prime }(t)=A𝐲(t)+𝐛(t).$.

To nam pa da

$e^{-At}{𝐲}^{\prime }-e^{-At}A𝐲=e^{-At}𝐛$

$e^{-At}{𝐲}^{\prime }-A{e}^{-At}𝐲=e^{-At}𝐛$

$\frac{d}{dt}(e^{-At}𝐲)=e^{-At}𝐛.$

Glej tudi

• matrična funkcija
• logaritem matrike

Zunanje povezave

• Eksponent matrike na MathWorld Predloga:Ikona en
• Eksponent matrike na PlanethMath Predloga:Webarchive Predloga:Ikona en
• Eksponent matrike Predloga:Ikona en